The Fourier-Walsh expansion of a Boolean function $f \colon \{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$ is its unique representation as a multilinear polynomial. The Kindler-Safra theorem (2002) asserts that if in the expansion of $f$, the total weight on coefficients beyond degree $k$ is very small, then $f$ can be approximated by a Boolean-valued function depending on at most $O(2^k)$ variables. In this paper we prove a similar theorem for Boolean functions whose domain is the `slice' ${{[n]}\choose{pn}} = \{x \in \{0,1\}^n\colon \sum_i x_i = pn\}$, where $0 \ll p \ll 1$, with respect to their unique representation as harmonic multilinear polynomials. We show that if in the representation of $f\colon {{[n]}\choose{pn}} \rightarrow \{0,1\}$, the total weight beyond degree $k$ is at most $\epsilon$, where $\epsilon = \min(p, 1-p)^{O(k)}$, then $f$ can be $O(\epsilon)$-approximated by a degree-$k$ Boolean function on the slice, which in turn depends on $O(2^{k})$ coordinates. This proves a conjecture of Filmus, Kindler, Mossel, and Wimmer (2015). Our proof relies on hypercontractivity, along with a novel kind of a shifting procedure. In addition, we show that the approximation rate in the Kindler-Safra theorem can be improved from $\epsilon + \exp(O(k)) \epsilon^{1/4}$ to $\epsilon+\epsilon^2 (2\ln(1/\epsilon))^k/k!$, which is tight in terms of the dependence on $\epsilon$ and misses at most a factor of $2^{O(k)}$ in the lower-order term.

中文翻译：

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切片上几乎低度函数的结构定理

布尔函数 $f \colon \{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$ 的傅立叶-沃尔什展开式是它作为多重线性多项式的唯一表示。Kindler-Safra 定理 (2002) 断言，如果在 $f$ 的展开中，超出度 $k$ 的系数的总权重非常小，则 $f$ 可以通过一个布尔值函数近似，取决于至多$O(2^k)$ 变量。在本文中，我们证明了域为“切片”的布尔函数的类似定理 ${{[n]}\choose{pn}} = \{x \in \{0,1\}^n\colon \sum_i x_i = pn\}$，其中 $0 \ll p \ll 1$，关于它们作为谐波多重线性多项式的唯一表示。我们证明如果在 $f\colon {{[n]}\choose{pn}} \rightarrow \{0,1\}$ 的表示中，超过度数 $k$ 的总权重至多为 $\epsilon$ ，其中 $\epsilon = \min(p, 1-p)^{O(k)}$，那么 $f$ 可以是 $O(\epsilon)$-通过切片上的度数-$k$ 布尔函数近似，这又取决于 $O(2^{k})$ 坐标。这证明了 Filmus、Kindle、Mossel 和 Wimmer (2015) 的猜想。我们的证明依赖于超收缩性，以及一种新型的移位程序。此外，我们证明了 Kindler-Safra 定理中的逼近率可以从 $\epsilon + \exp(O(k)) \epsilon^{1/4}$ 提高到 $\epsilon+\epsilon^2 (2 \ln(1/\epsilon))^k/k!$，这在对 $\epsilon$ 的依赖方面很严格，并且在低阶中最多错过了 $2^{O(k)}$ 的因子学期。以及一种新颖的移位程序。此外，我们证明了 Kindler-Safra 定理中的逼近率可以从 $\epsilon + \exp(O(k)) \epsilon^{1/4}$ 提高到 $\epsilon+\epsilon^2 (2 \ln(1/\epsilon))^k/k!$，这在对 $\epsilon$ 的依赖方面很严格，并且在低阶中最多错过了 $2^{O(k)}$ 的因子学期。以及一种新颖的移位程序。此外，我们证明了 Kindler-Safra 定理中的逼近率可以从 $\epsilon + \exp(O(k)) \epsilon^{1/4}$ 提高到 $\epsilon+\epsilon^2 (2 \ln(1/\epsilon))^k/k!$，这在对 $\epsilon$ 的依赖方面很严格，并且在低阶中最多错过了 $2^{O(k)}$ 的因子学期。