Abstract

We wish to point out errors in the paper “Abelian Arithmetic Chern–Simons Theory and Arithmetic Linking Numbers”, International Mathematics Research Notices, Vol. 2017, No. 00, pp. 1–29. The main error concerns the symmetry of the “ramified case” of the height pairing, which relies on the vanishing of the Bockstein map in Proposition 3.5. The surjectivity claimed in the 1st line of the proof of Proposition 3.5 is incorrect. The specific results that are affected are Proposition 3.5; Lemmas 3.6, 3.7, 3.8, and 3.9; and Corollary 3.11. The definition of the $(S,n)$-height pairing following Lemma 3.9 is also invalid, since the symmetry of the pairing was required for it to be well defined. The results of Section 3 before Proposition 3.5 as well as those of the other Sections are unaffected.Proposition 3.10 is correct, but the proof is unclear and has some sign errors. So we include here a correction. As in the paper, let $I$ be an ideal such that $I^n$ is principal in ${\mathcal{O}}_{F,S}$. Write $I^n=(f^{-1})$. Then the Kummer cocycles $k_n(f)$ will be in $Z^1(U, {{\mathbb{Z}}/{n}{\mathbb{Z}}})$. For any $a\in F$, denote by $a_S$ its image in $\prod _{v\in S} F_v$. Thus, we get an element $$\begin{equation*}[f]_{S,n}:=[(k_n(f), k_{n^2}(f_S), 0)] \in Z^1(U, {{{\mathbb{Z}}}/{n}{{\mathbb{Z}}}} \times_S{\mathbb{Z}}/n^2{\mathbb{Z}}),\end{equation*}$$which is well defined in cohomology independently of the choice of roots used to define the Kummer cocycles. (We have also trivialized both $\mu _{n^2}$ and $\mu _n$.)

中文翻译：

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更正为：通过平分几何有限生成A型共形块的代数

摘要

我们希望指出“国际数学研究通告，第一卷，第1期，Abelian算术Chern-Simons理论和算术链接数”中的错误。2017，第00号，第1-29页。主要错误与高度对“分支情况”的对称性有关，后者依赖于命题3.5中的博克斯坦图的消失。在命题3.5的第一行中声称的异议性是不正确的。受影响的具体结果是3.5号提案；Lemmas 3.6、3.7、3.8和3.9；推论3.11。引理3.9之后的$（S，n）$-高度配对的定义也是无效的，因为要使配对对称，要使它得到很好的定义。命题3.5之前的第3节以及其他各节的结果均不受影响。命题3.10是正确的，但是证据不清楚，并且有一些符号错误。因此，我们在此处进行了更正。如本文中所述，让$ I $为理想值，使得$ I ^ n $是$ {\ mathcal {O}} _ {F，S} $中的主体。写$ I ^ n =（f ^ {-1}）$。然后，Kummer循环$ k_n（f）$将在$ Z ^ 1（U，{{\ mathbb {Z}} / {n} {\ mathbb {Z}}}）$中。对于F $中的任何$ a \，用$ a_S $表示其在$ \ prod _ {v \ in S} F_v $中的图像。因此，我们得到一个元素$$ \ begin {equation *} [f] _ {S，n}：= [（k_n（f），k_ {n ^ 2}（f_S），0）] \ in Z ^ 1 （U，{{{\ mathbb {Z}}} / {n} {{\ mathbb {Z}}}} \ times_S {\ mathbb {Z}} / n ^ 2 {\ mathbb {Z}}}，\ end {equation *} $$，在同调学中定义明确，与选择用来定义Kummer cocycles的根的选择无关。（我们还琐碎了$ \ mu _ {n ^ 2} $和$ \ mu _n $。）写$ I ^ n =（f ^ {-1}）$。然后，Kummer循环$ k_n（f）$将在$ Z ^ 1（U，{{\ mathbb {Z}} / {n} {\ mathbb {Z}}}）$中。对于F $中的任何$ a \，用$ a_S $表示其在$ \ prod _ {v \ in S} F_v $中的图像。因此，我们得到一个元素$$ \ begin {equation *} [f] _ {S，n}：= [（k_n（f），k_ {n ^ 2}（f_S），0）] \ in Z ^ 1 （U，{{{\ mathbb {Z}}} / {n} {{\ mathbb {Z}}}} \ times_S {\ mathbb {Z}} / n ^ 2 {\ mathbb {Z}}}，\ end {equation *} $$，在同调学中定义明确，与选择用来定义Kummer cocycles的根的选择无关。（我们还琐碎了$ \ mu _ {n ^ 2} $和$ \ mu _n $。）写$ I ^ n =（f ^ {-1}）$。然后，Kummer循环$ k_n（f）$将在$ Z ^ 1（U，{{\ mathbb {Z}} / {n} {\ mathbb {Z}}}）$中。对于F $中的任何$ a \，用$ a_S $表示其在$ \ prod _ {v \ in S} F_v $中的图像。因此，我们得到一个元素$$ \ begin {equation *} [f] _ {S，n}：= [（k_n（f），k_ {n ^ 2}（f_S），0）] \ in Z ^ 1 （U，{{{\ mathbb {Z}}} / {n} {{\ mathbb {Z}}}} \ times_S {\ mathbb {Z}} / n ^ 2 {\ mathbb {Z}}}，\ end {equation *} $$，在同调学中定义明确，与选择用来定义Kummer cocycles的根的选择无关。（我们还琐碎了$ \ mu _ {n ^ 2} $和$ \ mu _n $。）{{{\ mathbb {Z}}} / {n} {{\ mathbb {Z}}}} \ times_S {\ mathbb {Z}} / n ^ 2 {\ mathbb {Z}}），\ end {等式*} $$在同调学中定义良好，而与用于定义Kummer cocycles的根的选择无关。（我们还琐碎了$ \ mu _ {n ^ 2} $和$ \ mu _n $。）{{{\ mathbb {Z}}} / {n} {{\ mathbb {Z}}}} \ times_S {\ mathbb {Z}} / n ^ 2 {\ mathbb {Z}}），\ end {等式*} $$在同调学中定义良好，而与用于定义Kummer cocycles的根的选择无关。（我们还琐碎了$ \ mu _ {n ^ 2} $和$ \ mu _n $。）