Abstract

Determining the number of common factors is an important and practical topic in high-dimensional factor models. The existing literature is mainly based on the eigenvalues of the covariance matrix. Owing to the incomparability of the eigenvalues of the covariance matrix caused by the heterogeneous scales of the observed variables, it is not easy to find an accurate relationship between these eigenvalues and the number of common factors. To overcome this limitation, we appeal to the correlation matrix and demonstrate, surprisingly, that the number of eigenvalues greater than 1 of the population correlation matrix is the same as the number of common factors under certain mild conditions. To use such a relationship, we study random matrix theory based on the sample correlation matrix to correct biases in estimating the top eigenvalues and to take into account of estimation errors in eigenvalue estimation. Thus, we propose a tuning-free scale-invariant adjusted correlation thresholding (ACT) method for determining the number of common factors in high-dimensional factor models, taking into account the sampling variabilities and biases of top sample eigenvalues. We also establish the optimality of the proposed ACT method in terms of minimal signal strength and the optimal threshold. Simulation studies lend further support to our proposed method and show that our estimator outperforms competing methods in most test cases. Supplementary materials for this article are available online.

摘要

确定公因子的个数是高维因子模型中一个重要且实用的课题。现有文献主要是基于协方差矩阵的特征值。由于观测变量的尺度不均匀导致协方差矩阵的特征值不可比，很难找到这些特征值与公因子个数之间的准确关系。为了克服这个限制，我们求助于相关矩阵，并令人惊讶地证明，在某些温和条件下，总体相关矩阵大于 1 的特征值的数量与公因子的数量相同。要使用这样的关系，我们研究了基于样本相关矩阵的随机矩阵理论，以纠正估计顶部特征值时的偏差，并考虑到特征值估计中的估计误差。因此，我们提出了一种无调整的尺度不变调整相关阈值（ACT）方法，用于确定高维因子模型中的公共因子的数量，同时考虑到顶部样本特征值的抽样变异性和偏差。我们还根据最小信号强度和最佳阈值确定了所提出的 ACT 方法的最优性。模拟研究为我们提出的方法提供了进一步的支持，并表明我们的估计器在大多数测试用例中优于竞争方法。本文的补充材料可在线获取。我们提出了一种无调整的尺度不变调整相关阈值（ACT）方法，用于确定高维因子模型中的公因子数量，同时考虑到顶部样本特征值的采样变异性和偏差。我们还根据最小信号强度和最佳阈值确定了所提出的 ACT 方法的最优性。模拟研究为我们提出的方法提供了进一步的支持，并表明我们的估计器在大多数测试用例中优于竞争方法。本文的补充材料可在线获取。我们提出了一种无调整的尺度不变调整相关阈值（ACT）方法，用于确定高维因子模型中的公因子数量，同时考虑到顶部样本特征值的采样变异性和偏差。我们还根据最小信号强度和最佳阈值确定了所提出的 ACT 方法的最优性。模拟研究为我们提出的方法提供了进一步的支持，并表明我们的估计器在大多数测试用例中优于竞争方法。本文的补充材料可在线获取。我们还根据最小信号强度和最佳阈值确定了所提出的 ACT 方法的最优性。模拟研究为我们提出的方法提供了进一步的支持，并表明我们的估计器在大多数测试用例中优于竞争方法。本文的补充材料可在线获取。我们还根据最小信号强度和最佳阈值确定了所提出的 ACT 方法的最优性。模拟研究为我们提出的方法提供了进一步的支持，并表明我们的估计器在大多数测试用例中优于竞争方法。本文的补充材料可在线获取。