Pudlák [14] lists several major complexity theoretic conjectures relevant to proof complexity and asks for oracles that separate pairs of corresponding relativized conjectures. Among these conjectures are:

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$\mathsf{CON}$ and $\mathsf{SAT}$: coNP (resp., NP) does not contain many-one complete sets that have P-optimal proof systems.

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$\mathsf{NP}\cap \mathsf{coNP}$: $\mathrm{NP}\cap \mathrm{coNP}$ does not have many-one complete problems.

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$\mathrm{P}\ne \mathrm{NP}$.

We construct two of the oracles that Pudlak asks for:

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Relative to the first oracle, $\mathsf{NP}\cap \mathsf{coNP}$ holds and $\mathsf{CON}$ does not hold.

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Relative the second oracle, $\mathrm{P}\ne \mathrm{NP}$ holds and both $\mathsf{CON}$ and $\mathsf{SAT}$ do not hold. This separates $\mathrm{P}\ne \mathrm{NP}$ from another conjecture by Pudlák, namely the conjecture $\mathsf{CON}\vee \mathsf{SAT}$.

中文翻译：

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关于有限域中不完全性的猜想的进一步预言

Pudlák[14]列出了与证明复杂性相关的几个主要的复杂性理论猜想，并要求预言家将成对的相应相对论猜想分开。这些猜想包括：

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$\mathsf{骗子}$ 和 $\mathsf{SAT考试}$：coNP（resp。，NP）不包含具有P最优证明系统的多套完整集。

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$\mathsf{NP}\cap \mathsf{核蛋白}$： $\mathrm{NP}\cap \mathrm{核蛋白}$ 没有很多完整的问题。

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$\mathrm{P}\ne \mathrm{NP}$。

我们构造了Pudlak要求的两个预言：

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相对于第一个神谕， $\mathsf{NP}\cap \mathsf{核蛋白}$ 持有并 $\mathsf{骗子}$ 不成立。

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相对于第二个神谕， $\mathrm{P}\ne \mathrm{NP}$ 两者兼而有之 $\mathsf{骗子}$ 和 $\mathsf{SAT考试}$不举行。这分开$\mathrm{P}\ne \mathrm{NP}$ 来自普德拉克的另一个猜想，即猜想 $\mathsf{骗子}\vee \mathsf{SAT考试}$。