Random graphs with latent geometric structure are popular models of social and biological networks, with applications ranging from network user profiling to circuit design. These graphs are also of purely theoretical interest within computer science, probability and statistics. A fundamental initial question regarding these models is: when are these random graphs affected by their latent geometry and when are they indistinguishable from simpler models without latent structure, such as the Erdős-Renyi graph $\mathcal{G}(n, p)$? We address this question for two of the most well-studied models of random graphs with latent geometry -- the random intersection and random geometric graph. Our results are as follows: (1) we prove that the random intersection graph converges in total variation to $\mathcal{G}(n, p)$ when $d = \tilde{\omega}(n^3)$, and does not if $d = o(n^3)$, resolving an open problem in Fill et al. (2000), Rybarczyk (2011) and Kim et al. (2018); (2) we provide conditions under which the matrix of intersection sizes of random family of sets converges in total variation to a symmetric matrix with independent Poisson entries, yielding the first total variation convergence result for $\tau$-random intersection graphs to $\mathcal{G}(n, p)$; and (3) we show that the random geometric graph on $\mathbb{S}^{d - 1}$ with edge density $p$ converges in total variation to $\mathcal{G}(n, p)$ when $d = \tilde{\omega}\left(\min\{ pn^3, p^2 n^{7/2} \} \right)$, yielding the first progress towards a conjecture of Bubeck et al. (2016). The first of these three results was obtained simultaneously and independently by Bubeck, Racz and Richey.

中文翻译：

---

用于检测随机图中潜在几何形状的相变

具有潜在几何结构的随机图是社交和生物网络的流行模型，其应用范围从网络用户分析到电路设计。这些图在计算机科学、概率和统计领域也具有纯理论意义。关于这些模型的一个基本的初始问题是：这些随机图何时受其潜在几何结构的影响，何时与没有潜在结构的简单模型（例如 Erdős-Renyi 图 $\mathcal{G}(n, p)$）无法区分? 我们针对两个研究最充分的具有潜在几何的随机图模型——随机交集和随机几何图——来解决这个问题。我们的结果如下：（1）我们证明当 $d = \tilde{\omega}(n^3)$ 时，随机交集图在全变体上收敛于 $\mathcal{G}(n, p)$，如果 $d = o(n^3)$，则不会，解决 Fill 等人中的一个开放问题。(2000)、Rybarczyk (2011) 和 Kim 等人。(2018); (2) 我们提供了条件，在该条件下，随机族集合的交集大小矩阵在全变分上收敛到具有独立泊松项的对称矩阵，从而产生 $\tau$-随机相交图到 $\ 的第一个全变分收敛结果数学{G}(n, p)$; 和 (3) 我们证明了 $\mathbb{S}^{d - 1}$ 上边密度为 $p$ 的随机几何图在全变中收敛于 $\mathcal{G}(n, p)$ 当 $ d = \tilde{\omega}\left(\min\{ pn^3, p^2 n^{7/2} \} \right)$，产生了 Bubeck 等人的猜想的第一个进展。(2016)。这三个结果中的第一个是由 Bubeck、Racz 和 Richey 同时独立获得的。解决 Fill 等人的一个开放问题。(2000)、Rybarczyk (2011) 和 Kim 等人。(2018); (2) 我们提供了条件，在该条件下，随机族集合的交集大小矩阵在全变分上收敛到具有独立泊松项的对称矩阵，从而产生 $\tau$-随机相交图到 $\ 的第一个全变分收敛结果数学{G}(n, p)$; 和 (3) 我们证明了 $\mathbb{S}^{d - 1}$ 上边密度为 $p$ 的随机几何图在全变中收敛于 $\mathcal{G}(n, p)$ 当 $ d = \tilde{\omega}\left(\min\{ pn^3, p^2 n^{7/2} \} \right)$，产生了 Bubeck 等人的猜想的第一个进展。(2016)。这三个结果中的第一个是由 Bubeck、Racz 和 Richey 同时独立获得的。解决 Fill 等人的一个开放问题。(2000)、Rybarczyk (2011) 和 Kim 等人。(2018); (2) 我们提供了条件，在该条件下，随机族集合的交集大小矩阵在全变分上收敛到具有独立泊松项的对称矩阵，从而产生 $\tau$-随机相交图到 $\ 的第一个全变分收敛结果数学{G}(n, p)$; 和 (3) 我们证明了 $\mathbb{S}^{d - 1}$ 上边密度为 $p$ 的随机几何图在全变中收敛于 $\mathcal{G}(n, p)$ 当 $ d = \tilde{\omega}\left(\min\{ pn^3, p^2 n^{7/2} \} \right)$，产生了 Bubeck 等人的猜想的第一个进展。(2016)。这三个结果中的第一个是由 Bubeck、Racz 和 Richey 同时独立获得的。(2) 我们提供了条件，在该条件下，随机族集合的交集大小矩阵在全变分上收敛到具有独立泊松项的对称矩阵，从而产生 $\tau$-随机相交图到 $\ 的第一个全变分收敛结果数学{G}(n, p)$; 和 (3) 我们证明了 $\mathbb{S}^{d - 1}$ 上边密度为 $p$ 的随机几何图在全变中收敛于 $\mathcal{G}(n, p)$ 当 $ d = \tilde{\omega}\left(\min\{ pn^3, p^2 n^{7/2} \} \right)$，产生了 Bubeck 等人的猜想的第一个进展。(2016)。这三个结果中的第一个是由 Bubeck、Racz 和 Richey 同时独立获得的。(2) 我们提供了条件，在该条件下，随机族集合的交集大小矩阵在全变分上收敛到具有独立泊松项的对称矩阵，从而产生 $\tau$-随机相交图到 $\ 的第一个全变分收敛结果数学{G}(n, p)$; 和 (3) 我们证明了 $\mathbb{S}^{d - 1}$ 上边密度为 $p$ 的随机几何图在全变中收敛于 $\mathcal{G}(n, p)$ 当 $ d = \tilde{\omega}\left(\min\{ pn^3, p^2 n^{7/2} \} \right)$，产生了 Bubeck 等人的猜想的第一个进展。(2016)。这三个结果中的第一个是由 Bubeck、Racz 和 Richey 同时独立获得的。产生 $\tau$-随机交点图到 $\mathcal{G}(n, p)$ 的第一个全变收敛结果；和 (3) 我们证明了 $\mathbb{S}^{d - 1}$ 上边密度为 $p$ 的随机几何图在全变中收敛于 $\mathcal{G}(n, p)$ 当 $ d = \tilde{\omega}\left(\min\{ pn^3, p^2 n^{7/2} \} \right)$，产生了 Bubeck 等人的猜想的第一个进展。(2016)。这三个结果中的第一个是由 Bubeck、Racz 和 Richey 同时独立获得的。产生 $\tau$-随机交点图到 $\mathcal{G}(n, p)$ 的第一个全变收敛结果；和 (3) 我们证明了 $\mathbb{S}^{d - 1}$ 上边密度为 $p$ 的随机几何图在全变中收敛于 $\mathcal{G}(n, p)$ 当 $ d = \tilde{\omega}\left(\min\{ pn^3, p^2 n^{7/2} \} \right)$，产生了 Bubeck 等人的猜想的第一个进展。(2016)。这三个结果中的第一个是由 Bubeck、Racz 和 Richey 同时独立获得的。产生了对布贝克等人的猜想的第一个进展。(2016)。这三个结果中的第一个是由 Bubeck、Racz 和 Richey 同时独立获得的。产生了对布贝克等人的猜想的第一个进展。(2016)。这三个结果中的第一个是由 Bubeck、Racz 和 Richey 同时独立获得的。