We consider two eigenvalue problems for Laplacian on some specific doubly connected domain. In particular, we study the following two eigenvalue problems. Let $B_1$ be an open ball in $\mathbb{R}^n$ and $B_0$ be a ball contained in $B_1$. Let $\nu$ be the outward unit normal on $\partial B_1$. Then the first eigenvalue of the problem \begin{align*} \begin{array}{rcll} \Delta u &=& 0 \, &\mbox{ in } \, B_1 \setminus \bar{B}_0 , \\ u &=& 0 \, &\mbox{ on } \, {\partial B_0}, \\ \frac{\partial u}{\partial \nu} &=& \tau \, u \, &\mbox{ on } \, {\partial B_1}, \end{array} \end{align*} attains maximum if and only if $B_0$ and $B_1$ are concentric. Let $D$ be a domain in a non-compact rank-$1$ symmetric space $(\mathbb{M}, ds^2)$, geodesically symmetric with respect to the point $ p\in \mathbb{M}$. Let $B_0$ be a ball in $\mathbb{M}$ centered at $p$ such that $\bar{{B}_0}\subset D$ and $\nu$ be the outward unit normal on ${\partial (D \setminus \bar{B}_0)}$. Then the first non-zero eigenvalue of \begin{align*} \begin{array}{rcll} \Delta u &=& \mu \ u \, &\mbox{ in } \, D \setminus \bar{B}_0, \\ \frac{\partial u}{\partial \nu} &=& 0 \, &\mbox{ on } \, {\partial (D \setminus \bar{B}_0)}, \end{array} \end{align*} attains maximum if and only if $D$ is a geodesic ball centered at $p$.

中文翻译：

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一类双连通域中与拉普拉斯算子相关的特征值问题

我们在某些特定的双连通域上考虑拉普拉斯算子的两个特征值问题。我们特别研究以下两个特征值问题。令 $B_1$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个开球，$B_0$ 是 $B_1$ 中的一个球。令 $\nu$ 是 $\partial B_1$ 上的外向单位法线。那么问题的第一个特征值 \begin{align*} \begin{array}{rcll} \Delta u &=& 0 \, &\mbox{ in } \, B_1 \setminus \bar{B}_0 , \\ u &=& 0 \, &\mbox{ on } \, {\partial B_0}, \\ \frac{\partial u}{\partial \nu} &=& \tau \, u \, &\mbox{在 } \, {\partial B_1}, \end{array} \end{align*} 上达到最大值当且仅当 $B_0$ 和 $B_1$ 是同心的。令 $D$ 是非紧秩 $1$ 对称空间 $(\mathbb{M}, ds^2)$ 中的域，关于点 $ p\in \mathbb{M}$ 测地对称。令 $B_0$ 是 $\mathbb{M}$ 中以 $p$ 为中心的球，使得 $\bar{{B}_0}\subset D$ 和 $\nu$ 是 ${\partial 上的外向单位法线(D \setminus \bar{B}_0)}$。然后 \begin{align*} \begin{array}{rcll} \Delta u &=& \mu \ u \, &\mbox{ in } \, D \setminus \bar{B} 的第一个非零特征值_0, \\ \frac{\partial u}{\partial \nu} &=& 0 \, &\mbox{ on } \, {\partial (D \setminus \bar{B}_0)}, \end{ array} \end{align*} 达到最大值当且仅当 $D$ 是一个以 $p$ 为中心的测地线球。