Hierarchical graphs are used in order to describe systems with a sequential composition of sub-systems. A hierarchical graph consists of a vector of subgraphs. Vertices in a subgraph may “call” other subgraphs. The reuse of subgraphs, possibly in a nested way, causes hierarchical graphs to be exponentially more succinct than equivalent flat graphs. Early research on hierarchical graphs and the computational price of their succinctness suggests that there is no strong correlation between the complexity of problems when applied to flat graphs and their complexity in the hierarchical setting. That is, the complexity in the hierarchical setting is higher, but all “jumps” in complexity up to an exponential one are exhibited, including no jumps in some problems.We continue the study of the complexity of algorithms for hierarchical graphs, with the following contributions: (1) In many applications, the subgraphs have a small, often a constant, number of exit vertices, namely vertices from which control returns to the calling subgraph. We offer a parameterized analysis of the complexity and point to problems where the complexity becomes lower when the number of exit vertices is bounded by a constant. (2) We describe a general methodology for algorithms on hierarchical graphs. The methodology is based on an iterative compression of subgraphs in a way that maintains the solution to the problems and results in subgraphs whose size depends only on the number of exit vertices, and (3) we handle labeled hierarchical graphs, where edges are labeled by letters from some alphabet, and the problems refer to the languages of the graphs.

中文翻译：

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层次图算法的参数化分析

层次图用于描述具有子系统顺序组合的系统。分层图由子图向量组成。子图中的顶点可以“调用”其他子图。子图的重用（可能以嵌套方式）导致层次图比等效的平面图更简洁。对分层图及其简洁性的计算代价的早期研究表明，当应用于平面图时，问题的复杂性与其在分层设置中的复杂性之间没有很强的相关性。也就是说，分层设置的复杂度更高，但所有复杂度的“跳跃”都会达到指数级，包括在某些问题中没有跳跃。我们继续研究分层图算法的复杂性，具有以下贡献： (1) 在许多应用程序中，子图具有少量（通常是常数）退出顶点，即控制返回调用子图的顶点。我们提供了复杂性的参数化分析，并指出当出口顶点的数量受常数限制时复杂性变得较低的问题。(2) 我们描述了层次图算法的一般方法。该方法基于子图的迭代压缩，以维持问题的解决方案并导致子图的大小仅取决于出口顶点的数量，并且（3）我们处理标记的分层图，其中边由一些字母表中的字母，问题与图表的语言有关。子图有少量（通常是常数）退出顶点，即控制返回调用子图的顶点。我们提供了复杂性的参数化分析，并指出当出口顶点的数量受常数限制时复杂性变得较低的问题。(2) 我们描述了层次图算法的一般方法。该方法基于子图的迭代压缩，以维持问题的解决方案并导致子图的大小仅取决于出口顶点的数量，并且（3）我们处理标记的分层图，其中边由一些字母表中的字母，问题与图表的语言有关。子图有少量（通常是常数）退出顶点，即控制返回调用子图的顶点。我们提供了复杂性的参数化分析，并指出当出口顶点的数量受常数限制时复杂性变得较低的问题。(2) 我们描述了层次图算法的一般方法。该方法基于子图的迭代压缩，以维持问题的解决方案并导致子图的大小仅取决于出口顶点的数量，并且（3）我们处理标记的分层图，其中边由一些字母表中的字母，问题与图表的语言有关。即控制返回调用子图的顶点。我们提供了复杂性的参数化分析，并指出当出口顶点的数量受常数限制时复杂性变得较低的问题。(2) 我们描述了层次图算法的一般方法。该方法基于子图的迭代压缩，以维持问题的解决方案并导致子图的大小仅取决于出口顶点的数量，并且（3）我们处理标记的分层图，其中边由一些字母表中的字母，问题与图表的语言有关。即控制返回调用子图的顶点。我们提供了复杂性的参数化分析，并指出当出口顶点的数量受常数限制时复杂性变得较低的问题。(2) 我们描述了层次图算法的一般方法。该方法基于子图的迭代压缩，以维持问题的解决方案并导致子图的大小仅取决于出口顶点的数量，并且（3）我们处理标记的分层图，其中边由一些字母表中的字母，问题与图表的语言有关。(2) 我们描述了层次图算法的一般方法。该方法基于子图的迭代压缩，以维持问题的解决方案并导致子图的大小仅取决于出口顶点的数量，并且（3）我们处理标记的分层图，其中边由一些字母表中的字母，问题与图表的语言有关。(2) 我们描述了层次图算法的一般方法。该方法基于子图的迭代压缩，以维持问题的解决方案并导致子图的大小仅取决于出口顶点的数量，并且（3）我们处理标记的分层图，其中边由一些字母表中的字母，问题与图表的语言有关。