In this paper, we place the work of Andrews et al. (Invent Math 91(3):391–407, 1988) and Cohen (Invent Math 91(3):409–422, 1988), relating arithmetic in \({{\mathbb {Q}}}(\sqrt{6})\) to modularity of Ramanujan’s function \(\sigma (q)\), in the context of the general family of Richaud–Degert real quadratic fields \({{\mathbb {Q}}}(\sqrt{2p})\). Moreover, we give the resulting generalizations of the function \(\sigma \) as indefinite theta functions and invoke Zwegers’ work, (Q J Math 63(3):753–770, 2012), to prove the modular properties of the completed functions.

中文翻译：

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Richaud–Degert实数二次场和马斯波形

在本文中，我们放置了Andrews等人的工作。（Invent Math 91（3）：391–407，1988）和Cohen（Invent Math 91（3）：409–422，1988），将\（{{\ mathbb {Q}}}（\ sqrt {6 }）\）到Ramanujan函数\（\ sigma（q）\）的模块化，在Richaud–Degert实数二次字段的一般族\\ {{{\ mathbb {Q}}}（\ sqrt {2p} ）\）。此外，我们将函数\（\ sigma \）的结果推广为不定theta函数，并调用Zwegers的工作（QJ Math 63（3）：753–770，2012），以证明已完成函数的模块性质。