The Probabilistic $p$-Center problem under Pressure ({\tt Min P$p$CP}) is a variant of the usual {\tt Min $p$-Center} problem we recently introduced in the context of wildfire management. The problem is %basically to locate $p$ shelters minimizing the maximum distance people will have to cover %in order to reach one of these shelters to reach the closest accessible shelter in case of fire. The landscape is divided in zones and is modeled as an edge-weighted graph with vertices corresponding to zones and edges corresponding to direct connections between two adjacent zones. The uncertainty associated with fire outbreaks is modeled using a finite set of fire scenarios. Each scenario %defines corresponds to a fire outbreak on a single zone (i.e., on a vertex) with the main consequence of modifying evacuation paths in two ways. First, an evacuation path cannot pass through the vertex on fire. Second, the fact that %somebody someone close to the fire may not take rational decisions when selecting a direction to escape is modeled using new kinds of evacuation paths. In this paper, for a given instance of {\tt Min P$p$CP} defined by an edge-weighted graph $G=(V,E,L)$ and an integer $p$, we characterize the set of feasible solutions of {\tt Min P$p$CP}. We prove that {\tt Min P$p$CP} cannot be approximated with a ratio less than $\frac{56}{55}$ on subgrids (subgraphs of grids) of degree at most 3. Then, we propose some approximation results for {\tt Min P$p$CP}. These results require approximation results for two variants of the (deterministic) {\tt Min $p$-Center} problem called {\tt Min MAC $p$-Center} and {\tt Min Partial $p$-Center}.

中文翻译：

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压力下概率 $p$-Center 问题的硬度和近似

压力下的概率 $p$-Center 问题 ({\tt Min P$p$CP}) 是我们最近在野火管理背景下引入的常见 {\tt Min $p$-Center} 问题的变体。问题基本上是找到 $p$ 避难所，最大限度地减少人们必须覆盖的最大距离，以便在发生火灾时到达这些避难所之一到达最近的可进入避难所。景观被划分为区域，并被建模为边加权图，其中顶点对应于区域，边对应于两个相邻区域之间的直接连接。与火灾爆发相关的不确定性是使用一组有限的火灾场景建模的。每个场景 %defines 对应于单个区域（即顶点）上的火灾爆发，其主要后果是以两种方式修改疏散路径。第一的，疏散路径不能通过着火顶点。其次，在选择逃生方向时，接近火灾的某个人可能不会做出理性决定这一事实是使用新型疏散路径建模的。在本文中，对于由边加权图 $G=(V,E,L)$ 和整数 $p$ 定义的 {\tt Min P$p$CP} 的给定实例，我们刻画了可行的集合{\tt Min P$p$CP} 的解。我们证明了 {\tt Min P$p$CP} 不能以小于 $\frac{56}{55}$ 的比值在度数最多为 3 的子网格（网格的子图）上近似。然后，我们提出了一些近似{\tt Min P$p$CP} 的结果。这些结果需要（确定性的）{\tt Min $p$-Center} 问题的两个变体的近似结果，称为 {\tt Min MAC $p$-Center} 和 {\tt Min Partial $p$-Center}。其次，在选择逃生方向时，接近火灾的某个人可能不会做出理性决定这一事实是使用新型疏散路径建模的。在本文中，对于由边加权图 $G=(V,E,L)$ 和整数 $p$ 定义的 {\tt Min P$p$CP} 的给定实例，我们刻画了可行的集合{\tt Min P$p$CP} 的解。我们证明了 {\tt Min P$p$CP} 不能以小于 $\frac{56}{55}$ 在度数最多为 3 的子网格（网格的子图）上的比率来近似。然后，我们提出了一些近似{\tt Min P$p$CP} 的结果。这些结果需要（确定性的）{\tt Min $p$-Center} 问题的两个变体的近似结果，称为 {\tt Min MAC $p$-Center} 和 {\tt Min Partial $p$-Center}。其次，在选择逃生方向时，接近火灾的某个人可能不会做出理性决定这一事实是使用新型疏散路径建模的。在本文中，对于由边加权图 $G=(V,E,L)$ 和整数 $p$ 定义的 {\tt Min P$p$CP} 的给定实例，我们刻画了可行的集合{\tt Min P$p$CP} 的解。我们证明了 {\tt Min P$p$CP} 不能以小于 $\frac{56}{55}$ 的比值在度数最多为 3 的子网格（网格的子图）上近似。然后，我们提出了一些近似{\tt Min P$p$CP} 的结果。这些结果需要（确定性的）{\tt Min $p$-Center} 问题的两个变体的近似结果，称为 {\tt Min MAC $p$-Center} 和 {\tt Min Partial $p$-Center}。接近火灾的人在选择逃生方向时可能不会做出理性决定的事实是使用新型疏散路径建模的。在本文中，对于由边加权图 $G=(V,E,L)$ 和整数 $p$ 定义的 {\tt Min P$p$CP} 的给定实例，我们刻画了可行的集合{\tt Min P$p$CP} 的解。我们证明了 {\tt Min P$p$CP} 不能以小于 $\frac{56}{55}$ 的比值在度数最多为 3 的子网格（网格的子图）上近似。然后，我们提出了一些近似{\tt Min P$p$CP} 的结果。这些结果需要（确定性的）{\tt Min $p$-Center} 问题的两个变体的近似结果，称为 {\tt Min MAC $p$-Center} 和 {\tt Min Partial $p$-Center}。接近火灾的人在选择逃生方向时可能不会做出理性决定的事实是使用新型疏散路径建模的。在本文中，对于由边加权图 $G=(V,E,L)$ 和整数 $p$ 定义的 {\tt Min P$p$CP} 的给定实例，我们刻画了可行的集合{\tt Min P$p$CP} 的解。我们证明了 {\tt Min P$p$CP} 不能以小于 $\frac{56}{55}$ 的比值在度数最多为 3 的子网格（网格的子图）上近似。然后，我们提出了一些近似{\tt Min P$p$CP} 的结果。这些结果需要（确定性的）{\tt Min $p$-Center} 问题的两个变体的近似结果，称为 {\tt Min MAC $p$-Center} 和 {\tt Min Partial $p$-Center}。对于由边加权图 $G=(V,E,L)$ 和整数 $p$ 定义的 {\tt Min P$p$CP} 的给定实例，我们表征了 {\ tt 最小 P$p$CP}。我们证明了 {\tt Min P$p$CP} 不能以小于 $\frac{56}{55}$ 的比值在度数最多为 3 的子网格（网格的子图）上近似。然后，我们提出了一些近似{\tt Min P$p$CP} 的结果。这些结果需要（确定性的）{\tt Min $p$-Center} 问题的两个变体的近似结果，称为 {\tt Min MAC $p$-Center} 和 {\tt Min Partial $p$-Center}。对于由边加权图 $G=(V,E,L)$ 和整数 $p$ 定义的 {\tt Min P$p$CP} 的给定实例，我们表征了 {\ tt 最小 P$p$CP}。我们证明了 {\tt Min P$p$CP} 不能以小于 $\frac{56}{55}$ 的比值在度数最多为 3 的子网格（网格的子图）上近似。然后，我们提出了一些近似{\tt Min P$p$CP} 的结果。这些结果需要（确定性的）{\tt Min $p$-Center} 问题的两个变体的近似结果，称为 {\tt Min MAC $p$-Center} 和 {\tt Min Partial $p$-Center}。我们证明了 {\tt Min P$p$CP} 不能以小于 $\frac{56}{55}$ 的比值在度数最多为 3 的子网格（网格的子图）上近似。然后，我们提出了一些近似{\tt Min P$p$CP} 的结果。这些结果需要（确定性的）{\tt Min $p$-Center} 问题的两个变体的近似结果，称为 {\tt Min MAC $p$-Center} 和 {\tt Min Partial $p$-Center}。我们证明了 {\tt Min P$p$CP} 不能以小于 $\frac{56}{55}$ 的比值在度数最多为 3 的子网格（网格的子图）上近似。然后，我们提出了一些近似{\tt Min P$p$CP} 的结果。这些结果需要（确定性的）{\tt Min $p$-Center} 问题的两个变体的近似结果，称为 {\tt Min MAC $p$-Center} 和 {\tt Min Partial $p$-Center}。