Let $G$ be a topological Abelian semigroup with unit, let $E$ be a Banach space, and let $C(G,E)$ denote the set of continuous functions $f\colon G\to E$. A function $f\in C(G,E)$ is a generalized polynomial, if there is an $n\ge 0$ such that $\Delta_{h_1} \ldots \Delta_{h_{n+1}} f=0$ for every $h_1 ,\ldots , h_{n+1} \in G$, where $\Delta_h$ is the difference operator. We say that $f\in C(G,E)$ is a polynomial, if it is a generalized polynomial, and the linear span of its translates is of finite dimension; $f$ is a w-polynomial, if $u\circ f$ is a polynomial for every $u\in E^*$, and $f$ is a local polynomial, if it is a polynomial on every finitely generated subsemigroup. We show that each of the classes of polynomials, w-polynomials, generalized polynomials, local polynomials is contained in the next class. If $G$ is an Abelian group and has a dense subgroup with finite torsion free rank, then these classes coincide. We introduce the classes of exponential polynomials and w-expo\-nential polynomials as well, establish their representations and connection with polynomials and w-polynomials. We also investigate spectral synthesis and analysis in the class $C(G,E)$. It is known that if $G$ is a compact Abelian group and $E$ is a Banach space, then spectral synthesis holds in $C(G,E)$. On the other hand, we show that if $G$ is an infinite and discrete Abelian group and $E$ is a Banach space of infinite dimension, then even spectral analysis fails in $C(G,E)$. If, however, $G$ is discrete, has finite torsion free rank and if $E$ is a Banach space of finite dimension, then spectral synthesis holds in $C(G,E)$.

中文翻译：

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矢量值多项式、指数多项式和矢量值谐波分析

令$G$是一个有单位的拓扑阿贝尔半群，令$E$为巴拿赫空间，令$C(G,E)$表示连续函数$f\colon G\to E$的集合。函数 $f\in C(G,E)$ 是一个广义多项式，如果存在 $n\ge 0$ 使得 $\Delta_{h_1} \ldots \Delta_{h_{n+1}} f=每个 $h_1 ,\ldots , h_{n+1} \in G$ 为 0$，其中 $\Delta_h$ 是差分运算符。我们说 $f\in C(G,E)$ 是一个多项式，如果它是一个广义多项式，并且它的平移的线性跨度是有限维的；$f$ 是 w 多项式，如果 $u\circ f$ 是每个 $u\in E^*$ 的多项式，并且 $f$ 是局部多项式，如果它是每个有限生成子半群上的多项式。我们展示了多项式、w 多项式、广义多项式、局部多项式的每一类都包含在下一个类中。如果 $G$ 是一个阿贝尔群并且有一个具有有限无扭转秩的稠密子群，那么这些类是重合的。我们还介绍了指数多项式和w-expo\-nential多项式的类别，建立了它们与多项式和w-多项式的表示和联系。我们还研究了 $C(G,E)$ 类中的频谱合成和分析。已知如果$G$是紧阿贝尔群且$E$是Banach空间，则谱合成在$C(G,E)$中成立。另一方面，我们证明，如果 $G$ 是一个无限离散的阿贝尔群，而 $E$ 是一个无限维的 Banach 空间，那么即使是在 $C(G,E)$ 中的谱分析也会失败。然而，如果 $G$ 是离散的，具有有限的无扭转秩，并且如果 $E$ 是有限维的 Banach 空间，则谱综合在 $C(G,E)$ 中成立。那么这些类重合。我们还介绍了指数多项式和w-expo\-nential多项式的类别，建立了它们与多项式和w-多项式的表示和联系。我们还研究了 $C(G,E)$ 类中的频谱合成和分析。已知如果$G$是紧阿贝尔群且$E$是Banach空间，则谱合成在$C(G,E)$中成立。另一方面，我们证明，如果 $G$ 是一个无限离散的阿贝尔群，而 $E$ 是一个无限维的 Banach 空间，那么即使是在 $C(G,E)$ 中的谱分析也会失败。然而，如果 $G$ 是离散的，具有有限的无扭转秩，并且如果 $E$ 是有限维的 Banach 空间，则谱综合在 $C(G,E)$ 中成立。那么这些类重合。我们还介绍了指数多项式和w-expo\-nential多项式的类别，建立了它们与多项式和w-多项式的表示和联系。我们还研究了 $C(G,E)$ 类中的频谱合成和分析。已知如果$G$是紧阿贝尔群且$E$是Banach空间，则谱合成在$C(G,E)$中成立。另一方面，我们证明，如果 $G$ 是一个无限离散的阿贝尔群，而 $E$ 是一个无限维的 Banach 空间，那么即使是在 $C(G,E)$ 中的谱分析也会失败。然而，如果 $G$ 是离散的，具有有限的无扭转秩，并且如果 $E$ 是有限维的 Banach 空间，则谱综合在 $C(G,E)$ 中成立。建立它们与多项式和 w 多项式的表示和联系。我们还研究了 $C(G,E)$ 类中的频谱合成和分析。已知如果$G$是紧阿贝尔群且$E$是Banach空间，则谱合成在$C(G,E)$中成立。另一方面，我们证明，如果 $G$ 是一个无限离散的阿贝尔群，而 $E$ 是一个无限维的 Banach 空间，那么即使是在 $C(G,E)$ 中的谱分析也会失败。然而，如果 $G$ 是离散的，具有有限的无扭转秩，并且如果 $E$ 是有限维的 Banach 空间，则谱综合在 $C(G,E)$ 中成立。建立它们与多项式和 w 多项式的表示和联系。我们还研究了 $C(G,E)$ 类中的频谱合成和分析。已知如果$G$是紧阿贝尔群且$E$是Banach空间，则谱合成在$C(G,E)$中成立。另一方面，我们证明，如果 $G$ 是一个无限离散的阿贝尔群，而 $E$ 是一个无限维的 Banach 空间，那么即使是在 $C(G,E)$ 中的谱分析也会失败。然而，如果 $G$ 是离散的，具有有限的无扭转秩，并且如果 $E$ 是有限维的 Banach 空间，则谱综合在 $C(G,E)$ 中成立。然后频谱合成在 $C(G,E)$ 中成立。另一方面，我们证明，如果 $G$ 是一个无限离散的阿贝尔群，而 $E$ 是一个无限维的 Banach 空间，那么即使是在 $C(G,E)$ 中的谱分析也会失败。然而，如果 $G$ 是离散的，具有有限的无扭转秩，并且如果 $E$ 是有限维的 Banach 空间，则谱综合在 $C(G,E)$ 中成立。然后频谱合成在 $C(G,E)$ 中成立。另一方面，我们证明，如果 $G$ 是一个无限离散的阿贝尔群，而 $E$ 是一个无限维的 Banach 空间，那么即使是在 $C(G,E)$ 中的谱分析也会失败。然而，如果 $G$ 是离散的，具有有限的无扭转秩，并且如果 $E$ 是有限维的 Banach 空间，则谱综合在 $C(G,E)$ 中成立。