ABSTRACT The first motivation of our paper is to explore further the idea that, in risk control problems, it may be profitable to base decisions both on the position of the underlying process and on its supremum . Strongly connected to Azema-Yor/generalized draw-down/trailing stop time this framework provides a natural unification of draw-down and classic first passage times. We illustrate here the potential of this unified framework by solving a variation of the De Finetti problem of maximizing expected discounted cumulative dividends/consumption gained under a barrier policy, until an optimally chosen Azema-Yor time, with a general spectrally negative Markov model. While previously studied cases of this problem assumed either Lévy or diffusion models, and the draw-down function to be fixed, we describe, for a general spectrally negative Markov model, not only the optimal barrier but also the optimal draw-down function. This is achieved by solving a variational problem tackled by Pontryaghin's maximum principle. As a by-product we show that in the Lévy case the classic first passage solution is indeed optimal; in the diffusion case, we obtain the optimality equations, but the behavior of associated solutions for further explicit models and the question of whether they do better than the classic solution is left for future work. Instead, we illustrate the novelty by a toy example, with a conveniently chosen scale-like function.

中文翻译：

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用于优化谱负马尔可夫过程的红利/消耗的 pontryaghin 最大值原理方法，直到广义回撤时间

摘要 我们论文的第一个动机是进一步探索这样一个想法，即在风险控制问题中，将决策建立在基础流程的位置及其最高点上可能是有益的。与 Azema-Yor/广义回撤/追踪止损时间紧密相关，该框架提供了回撤和经典首次通过时间的自然统一。我们在这里通过解决 De Finetti 问题的一个变体来说明这个统一框架的潜力，该问题是最大化在障碍策略下获得的预期贴现累积红利/消费，直到最佳选择的 Azema-Yor 时间，使用一般的谱负马尔可夫模型。虽然之前研究的这个问题的案例假设 Lévy 或扩散模型，并且回撤函数是固定的，但我们描述，对于一般的谱负马尔可夫模型，不仅是最优屏障，而且是最优回撤函数。这是通过解决 Pontryaghin 的最大值原理解决的变分问题来实现的。作为副产品，我们表明在 Lévy 案例中，经典的第一次通过解决方案确实是最优的；在扩散情况下，我们获得了最优方程，但进一步显式模型的相关解的行为以及它们是否比经典解更好的问题留待未来工作。相反，我们通过一个玩具示例来说明新颖性，其中包含一个方便选择的类比例函数。作为副产品，我们表明在 Lévy 案例中，经典的第一次通过解决方案确实是最优的；在扩散情况下，我们获得了最优方程，但进一步显式模型的相关解的行为以及它们是否比经典解更好的问题留待未来工作。相反，我们通过一个玩具示例来说明新颖性，其中包含一个方便选择的类比例函数。作为副产品，我们表明在 Lévy 案例中，经典的第一次通过解决方案确实是最优的；在扩散情况下，我们获得了最优方程，但进一步显式模型的相关解的行为以及它们是否比经典解更好的问题留待未来工作。相反，我们通过一个玩具示例来说明新颖性，其中包含一个方便选择的类比例函数。