In this note, we prove that if $A$ is a finite set of real numbers such that $|AA| = K|A|$, then for every polynomial $f \in \mathbb{R}[x,y]$ we have that $|f(A,A)| = \Omega_{K,\operatorname{deg} f}(|A|^2)$, unless $f$ is of the form $f(x,y) = g(M(x,y))$ for some monomial $M$ and some univariate polynomial $g$.

中文翻译：

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在具有少量乘积的集合上展开多项式

在本笔记中，我们证明如果 $A$ 是一个有限实数集，使得 $|AA| = K|A|$，然后对于每个多项式 $f \in \mathbb{R}[x,y]$ 我们有 $|f(A,A)| = \Omega_{K,\operatorname{deg} f}(|A|^2)$，除非 $f$ 的形式为 $f(x,y) = g(M(x,y))$单项式 $M$ 和一些单变量多项式 $g$。