In this paper, we study the generalized Lebesgue-Nagell equation \[ x^2+7^{2k+1}=y^n. \] This is the last case of equations of the form $x^2+q^{2k+1}=y^n$ with $k\geq0$ and $q>0$ where $\mathbb{Q}(\sqrt{-q})$ has class number one. Our proof is based on the modular method and the symplectic argument.

中文翻译：

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模方法和辛参数在 LEBESGUE-NAGELL 方程中的应用

在本文中，我们研究了广义 Lebesgue-Nagell 方程 \[ x^2+7^{2k+1}=y^n。\] 这是 $x^2+q^{2k+1}=y^n$ 形式的方程的最后一种情况，其中 $k\geq0$ 和 $q>0$ 其中 $\mathbb{Q}(\ sqrt{-q})$ 是第一类。我们的证明基于模方法和辛论证。