The assertion that every definable set has a definable element is equivalent over ZF to the principle $V=\text{HOD}$, and indeed, we prove, so is the assertion merely that every $\Pi_2$-definable set has an ordinal-definable element. Meanwhile, every model of ZFC has a forcing extension satisfying $V\neq\text{HOD}$ in which every $\Sigma_2$-definable set has an ordinal-definable element. Similar results hold for $\text{HOD}(\mathbb{R})$ and $\text{HOD}(\text{Ord}^\omega)$ and other natural instances of $\text{HOD}(X)$.

中文翻译：

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什么时候每个可定义的非空集合都有一个可定义的元素？

每个可定义集都有一个可定义元素的断言在 ZF 上等价于原则 $V=\text{HOD}$，并且实际上，我们证明，断言仅仅是每个 $\Pi_2$-可定义集都有一个序数- 可定义的元素。同时，ZFC 的每个模型都有满足 $V\neq\text{HOD}$ 的强制扩展，其中每个 $\Sigma_2$ 可定义集都有一个序数可定义元素。类似的结果适用于 $\text{HOD}(\mathbb{R})$ 和 $\text{HOD}(\text{Ord}^\omega)$ 以及 $\text{HOD}(X) 的其他自然实例$.