Partial difference sets with parameters $(v,k,\lambda,\mu)=(v, (v-1)/2, (v-5)/4, (v-1)/4)$ are called Paley type partial difference sets. In this note we prove that if there exists a Paley type partial difference set in an abelian group $G$ of an order not a prime power, then $|G|=n^4$ or $9n^4$, where $n>1$ is an odd integer. In 2010, Polhill \cite{Polhill} constructed Paley type partial difference sets in abelian groups with those orders. Thus, combining with the constructions of Polhill and the classical Paley construction using non-zero squares of a finite field, we completely answer the following question: "For which odd positive integer $v > 1$, can we find a Paley type partial difference set in an abelian group of order $v$?"

中文翻译：

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阿贝尔群中的佩雷型偏差分集

参数为$(v,k,\lambda,\mu)=(v, (v-1)/2, (v-5)/4, (v-1)/4)$的偏差分集称为Paley类型部分差分集。在这个注解中，我们证明如果在一个阶不是素数幂的阿贝尔群 $G$ 中存在 Paley 型偏差分集，则 $|G|=n^4$ 或 $9n^4$，其中 $n >1$ 是一个奇数。2010 年，Polhill \cite{Polhill} 在具有这些阶次的阿贝尔群中构造了 Paley 型偏差分集。因此，结合 Polhill 的构造和使用有限域的非零平方的经典 Paley 构造，我们完全回答了以下问题：“对于哪个奇数正整数 $v > 1$，我们可以找到 Paley 类型的偏差吗？设置在阶 $v$ 的阿贝尔群中？”