In 1977, D. Betten defined a geometric group to be a permutation group $\left(G,\mathrm{\Omega }\right)$ such that $G=\text{Aut}\left(\mathcal{R}\right)$ for some hypergraph $\mathcal{R}$ on $\mathrm{\Omega }$. In this paper, we extend Betten's notion of a geometric group to what we call a geometric group of second order. By definition, this is a permutation group for which $G=\text{Aut}\left(\mathfrak{R}\right)$ for some set $\mathfrak{R}=\left\{{\mathcal{R}}_1,{\mathcal{R}}_2,\text{…},{\mathcal{R}}_d\right\}$ of hypergraphs on $\mathrm{\Omega }$. Our main focus will be on permutation groups that are geometric of second order but not geometric. Within this small class of groups one finds the projective groups $\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}\mathrm{\left(}2\mathrm{,}8\mathrm{\right)}\mathrm{,}\mathrm{P}\mathrm{\Gamma }\mathrm{L}\mathrm{\left(}2\mathrm{,}8\mathrm{\right)}$ and the affine groups $\mathrm{A}\mathrm{G}\mathrm{L}\mathrm{\left(}1\mathrm{,}8\mathrm{\right)}\mathrm{,}\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }\mathrm{L}\mathrm{\left(}1\mathrm{,}8\mathrm{\right)}$. Our investigations, which are based primarily on these four groups, lead us to consider some familiar combinatorial structures (eg, Fano plane and affine design) in a less familiar context (overlarge sets of Steiner systems).

中文翻译：

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二阶几何群和相关的组合结构

1977年，D。Betten将几何组定义为置换组 $（G，\mathrm{\Omega }）$ 这样 $G=\text{ut}（\mathcal{[R}）$ 对于一些超图 $\mathcal{[R}$ 上 $\mathrm{\Omega }$。在本文中，我们将Betten的几何群的概念扩展到了所谓的二阶几何群。根据定义，这是一个置换组$G=\text{ut}（\mathfrak{[R}）$ 对于一些集 $\mathfrak{[R}=\left\{{\mathcal{[R}}_{\mathrm{1个}}，{\mathcal{[R}}_2，\text{…}，{\mathcal{[R}}_d\right\}$ 上的超图 $\mathrm{\Omega }$。我们的主要重点将放在二阶几何而不是几何的置换组上。在这一小类群体中，人们找到了投射群体$\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{大号}\mathrm{（}2\mathrm{，}8\mathrm{）}\mathrm{，}\mathrm{P}\mathrm{\Gamma }\mathrm{大号}\mathrm{（}2\mathrm{，}8\mathrm{）}$ 和仿射团体 $\mathrm{一种}\mathrm{G}\mathrm{大号}\mathrm{（}\mathrm{1个}\mathrm{，}8\mathrm{）}\mathrm{，}\mathrm{一种}\mathrm{\Gamma }\mathrm{大号}\mathrm{（}\mathrm{1个}\mathrm{，}8\mathrm{）}$。我们的调查主要基于这四个组，这使我们在不太熟悉的环境（大量Steiner系统）中考虑了一些熟悉的组合结构（例如Fano平面和仿射设计）。