We propose and analyze several multilevel algorithms for the fast simulation of possibly nonstationary Gaussian random fields (GRFs) indexed, for example, by the closure of a bounded domain [Formula: see text] or, more generally, by a compact metric space [Formula: see text] such as a compact [Formula: see text]-manifold [Formula: see text]. A colored GRF [Formula: see text], admissible for our algorithms, solves the stochastic fractional-order equation [Formula: see text] for some [Formula: see text], where [Formula: see text] is a linear, local, second-order elliptic self-adjoint differential operator in divergence form and [Formula: see text] is white noise on [Formula: see text]. We thus consider GRFs on [Formula: see text] with covariance operators of the form [Formula: see text]. The proposed algorithms numerically approximate samples of [Formula: see text] on nested sequences [Formula: see text] of regular, simplicial partitions [Formula: see text] of [Formula: see text] and [Formula: see text], respectively. Work and memory to compute one approximate realization of the GRF [Formula: see text] on the triangulation [Formula: see text] of [Formula: see text] with consistency [Formula: see text], for some consistency order [Formula: see text], scale essentially linearly in [Formula: see text], independent of the possibly low regularity of the GRF. The algorithms are based on a sinc quadrature for an integral representation of (the application of) the negative fractional-order elliptic “coloring” operator [Formula: see text] to white noise [Formula: see text]. For the proposed numerical approximation, we prove bounds of the computational cost and the consistency error in various norms.

中文翻译：

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高斯随机场的多级逼近：快速模拟

我们提出并分析了几种用于快速模拟可能的非平稳高斯随机场（GRF）的多级算法，例如，通过封闭域[公式：见文本]或更一般地，通过紧凑度量空间[公式:see text]，如紧凑的[Formula: see text]-manifold [Formula: see text]。彩色 GRF [公式：见文本]，可用于我们的算法，求解某些 [公式：见文本] 的随机分数阶方程 [公式：见文本]，其中 [公式：见文本] 是线性的、局部的，散度形式的二阶椭圆自伴微分算子，[公式：见文本]是[公式：见文本]上的白噪声。因此，我们考虑 [Formula: see text] 上的 GRFs 与 [Formula: see text] 形式的协方差算子。所提出的算法分别在[公式：见文本]和[公式：见文本]的常规、简单分区[公式：见文本]的嵌套序列[公式：见文本]上的[公式：见文本]样本数值近似。计算 GRF [公式：参见文本] 在 [公式：参见文本] 的三角剖分 [公式：参见文本] 上的一种近似实现的工作和记忆，具有一致性 [公式：参见文本]，对于某些一致性顺序 [公式：参见text]，在 [Formula: see text] 中基本上是线性缩放的，与 GRF 可能的低规律性无关。该算法基于 sinc 求积，用于将负分数阶椭圆“着色”算子 [公式：参见文本] 到白噪声 [公式：参见文本] 的积分表示（应用）。对于建议的数值近似，