For a prime $p$, we call a positive integer $n$ a Frobenius $p$-number if there exists a finite group with exactly $n$ subgroups of order $p^a$ for some $a\ge 0$. Extending previous results on Sylow’s theorem, we prove in this paper that every Frobenius $p$-number $n\equiv 1(mod{p}^2)$ is a Sylow $p$-number, i. e., the number of Sylow $p$-subgroups of some finite group. As a consequence, we verify that 46 is a pseudo Frobenius 3-number, that is, no finite group has exactly 46 subgroups of order $3^a$ for any $a\ge 0$.

中文翻译：

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伪Frobenius数

对于素数 $p$，我们称为正整数 $ñ$ Frobenius $p$-number，如果存在一个有限群 $ñ$ 订单子组 $p^{\mathrm{一种}}$ 对于一些 $\mathrm{一种}\ge 0$。扩展先前关于Sylow定理的结果，我们在本文中证明每个Frobenius$p$-数 $ñ\equiv \mathrm{1个}（模p^2）$ 是一个Sylow $p$-number，即Sylow的数量 $p$-有限群的子群。结果，我们验证46是伪Frobenius 3数，也就是说，没有一个有限群具有精确的46个子群$3^{\mathrm{一种}}$ 对于任何 $\mathrm{一种}\ge 0$。