According to a result of Arkin et al. (2016), given n point pairs in the plane, there exists a simple polygonal cycle that separates the two points in each pair to different sides; moreover, a $O(\sqrt{n})$-factor approximation with respect to the minimum length can be computed in polynomial time. Here the following results are obtained:

(I) We extend the problem to geometric hypergraphs and obtain the following characterization of feasibility. Given a geometric hypergraph on points in the plane with hyperedges of size at least 2, there exists a simple polygonal cycle that separates each hyperedge if and only if the hypergraph is 2-colorable.

(II) We extend the $O(\sqrt{n})$-factor approximation in the length measure as follows: Given a geometric graph $G=(V,E)$, a separating cycle (if it exists) can be computed in $O(m+n\log n)$ time, where $|V|=n$, $|E|=m$. Moreover, a $O(\sqrt{n})$-approximation of the shortest separating cycle can be found in polynomial time. Given a geometric graph $G=(V,E)$ in ${\mathbb{R}}^3$, a separating polyhedron (if it exists) can be found in $O(m+n\log n)$ time, where $|V|=n$, $|E|=m$. Moreover, a $O(n^{2/3})$-approximation of a separating polyhedron of minimum perimeter can be found in polynomial time.

(III) Given a set of n point pairs in convex position in the plane, we show that a $(1+\epsilon )$-approximation of a shortest separating cycle can be computed in time $n^{O({\epsilon }^{-1/2})}$. In this regard, we prove a lemma on convex polygon approximation that is of independent interest.

根据Arkin等人的结果。（2016年），给定平面中的n个点对，存在一个简单的多边形循环，将每对中的两个点分隔到不同的侧面；而且，一个$Ø（\sqrt{ñ}）$可以在多项式时间内计算出与最小长度相关的系数近似值。在这里获得以下结果：

（I）将问题扩展到几何超图，并获得以下可行性描述。给定在平面上具有至少2个超边的点的几何超图，则存在一个简单的多边形循环，当且仅当超图是2色的时，才将每个超边分开。

（II）我们扩展 $Ø（\sqrt{ñ}）$长度度量中的系​​数近似，如下所示：给定几何图 $G=（V，Ë）$，可以计算出一个分离周期（如果存在） $Ø（米+ñ\mathrm{日志}ñ）$ 时间，地点 $|V|=ñ$， $|Ë|=米$。此外，$Ø（\sqrt{ñ}）$-最短分离周期的近似值可以在多项式时间内找到。给定几何图$G=（V，Ë）$ 在 ${\mathbb{[R}}^3$，可以在以下位置找到一个分离的多面体（如果存在） $Ø（米+ñ\mathrm{日志}ñ）$ 时间，地点 $|V|=ñ$， $|Ë|=米$。此外，$Ø（{ñ}^{2/3}）$最小周长的分离多面体的近似值可以在多项式时间内找到。

（III）给定一组n个点对在平面上的凸位置，我们证明$（\mathrm{1个}+\epsilon ）$-最短分离周期的近似值可以及时计算 ${ñ}^{Ø（{\epsilon }^{-\mathrm{1个}/2}）}$。在这方面，我们证明了凸多边形逼近中的一个引人注目的引理。