Abstract Assuming the abc conjecture, Silverman proved that, for any given positive integer a ⩾ 2 , there are ≫ log ⁡ x primes p ⩽ x such that a p − 1 ≢ 1 ( mod p 2 ) . In this paper, we show that, for any given integers a ⩾ 2 and k ⩾ 2 , there still are ≫ log ⁡ x primes p ⩽ x satisfying a p − 1 ≢ 1 ( mod p 2 ) and p ≡ 1 ( mod k ) , under the assumption of the abc conjecture. This improves a recent result of Chen and Ding.

中文翻译：

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abc 猜想下的非维夫里希素数

摘要 假设 abc 猜想，Silverman 证明，对于任何给定的正整数 a ⩾ 2 ，有 ≫ log ⁡ x 素数 p ⩽ x 使得 ap − 1 ≢ 1 ( mod p 2 ) 。在本文中，我们证明，对于任何给定的整数 a ⩾ 2 和 k ⩾ 2 ，仍然有 ≫ log ⁡ x 素数 p ⩽ x 满足 ap − 1 ≢ 1 ( mod p 2 ) 和 p ≡ 1 ( mod k ) , 在 abc 猜想的假设下。这改善了陈和丁最近的结果。