In this paper we characterize the Birkhoff--James orthogonality with respect to the numerical radius norm $v(\cdot)$ in $C^*$-algebras. More precisely, for two elements $a, b$ in a $C^*$-algebra $\mathfrak{A}$, we show that $a\perp_{B}^{v} b$ if and only if for each $\theta \in [0, 2\pi)$, there exists a state $\varphi_{_{\theta}}$ on $\mathfrak{A}$ such that $|\varphi_{_{\theta}}(a)| = v(a)$ and $\mbox{Re}\big(e^{i\theta}\overline{\varphi_{_{\theta}}(a)}\varphi_{_{\theta}}(b)\big)\geq 0$. Moreover, we compute the numerical radius derivatives in $\mathfrak{A}$. In addition, we characterize when the numerical radius norm of the sum of two (or three) elements in $\mathfrak{A}$ equals the sum of their numerical radius norms.

中文翻译：

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$$C^*$$C∗-代数中的数值半径正交性

在本文中，我们描述了关于 $C^*$-代数中数值半径范数 $v(\cdot)$ 的 Birkhoff--James 正交性。更准确地说，对于 $C^*$-代数 $\mathfrak{A}$ 中的两个元素 $a, b$，我们证明 $a\perp_{B}^{v} b$ 当且仅当对于每个$\theta \in [0, 2\pi)$，在 $\mathfrak{A}$ 上存在状态 $\varphi_{_{\theta}}$ 使得 $|\varphi_{_{\theta}} (a)| = v(a)$ 和 $\mbox{Re}\big(e^{i\theta}\overline{\varphi_{_{\theta}}(a)}\varphi_{_{\theta}}(b )\大)\geq 0$。此外，我们计算 $\mathfrak{A}$ 中的数值半径导数。此外，我们表征了 $\mathfrak{A}$ 中两个（或三个）元素之和的数值半径范数何时等于它们的数值半径范数之和。