We consider criteria for the differentiability of functions with continuous Laplacian on the Sierpiński Gasket and its higher-dimensional variants [Formula: see text], [Formula: see text], proving results that generalize those of Teplyaev [Gradients on fractals, J. Funct. Anal. 174(1) (2000) 128–154]. When [Formula: see text] is equipped with the standard Dirichlet form and measure [Formula: see text] we show there is a full [Formula: see text]-measure set on which continuity of the Laplacian implies existence of the gradient [Formula: see text], and that this set is not all of [Formula: see text]. We also show there is a class of non-uniform measures on the usual Sierpiński Gasket with the property that continuity of the Laplacian implies the gradient exists and is continuous everywhere in sharp contrast to the case with the standard measure.

中文翻译：

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高维谢尔皮滑雪垫片上的谐波梯度

我们考虑了在 Sierpiński 垫片上具有连续拉普拉斯算子的函数的可微性标准及其高维变体 [公式：见文本]，[公式：见文本]，证明了推广 Teplyaev 的结果 [分形梯度，J. Funct . 肛门。174（1）（2000）128-154]。当[公式：见文本]配备标准狄利克雷形式和测量[公式：见文本]时，我们表明存在一个完整的[公式：见文本]-测量集，在该测量集上，拉普拉斯算子的连续性意味着存在梯度 [公式: 见正文]，而这一套不是全部的[公式：见正文]。我们还展示了在通常的 Sierpiński 垫片上存在一类非均匀测度，其性质是拉普拉斯算子的连续性意味着梯度存在并且在任何地方都是连续的，这与标准测度的情况形成鲜明对比。