The [Formula: see text]-fractional differential equation usually describes the physics process imposed on the time scale set [Formula: see text]. In this paper, we first propose a difference formula for discretizing the fractional [Formula: see text]-derivative [Formula: see text] on the time scale set [Formula: see text] with order [Formula: see text] and scale index [Formula: see text]. We establish a rigours truncation error boundness and prove that this difference formula is unconditionally stable. Then, we consider the difference method for solving the initial value problem of [Formula: see text]-fractional differential equation: [Formula: see text] on the time scale set. We prove the unique existence and stability of the difference solution and give the convergence analysis. Numerical experiments show the effectiveness and high accuracy of the proposed difference method.

中文翻译：

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一种求解时间尺度上非线性q-分数微分方程的差分方法

[公式：见正文]-分数阶微分方程通常描述施加在时间尺度集上的物理过程[公式：见正文]。在本文中，我们首先提出了一种差分公式，用于在时间尺度集[公式：见文本]上以[公式：见文本]和尺度索引对分数[公式：见文本]-导数[公式：见文本]进行离散化[公式：见正文]。我们建立了一个严格的截断误差界，并证明这个差分公式是无条件稳定的。然后，我们考虑求解[公式：见正文]-分数阶微分方程：[公式：见正文]在时间尺度集上的初值问题的差分法。我们证明了差分解的唯一存在性和稳定性，并给出了收敛性分析。