We consider a generalization of the fundamental online metrical service systems (MSS) problem where the feasible region can be transformed between requests. In this problem, which we call T-MSS, an algorithm maintains a point in a metric space and has to serve a sequence of requests. Each request is a map (transformation) $f_t\colon A_t\to B_t$ between subsets $A_t$ and $B_t$ of the metric space. To serve it, the algorithm has to go to a point $a_t\in A_t$, paying the distance from its previous position. Then, the transformation is applied, modifying the algorithm's state to $f_t(a_t)$. Such transformations can model, e.g., changes to the environment that are outside of an algorithm's control, and we therefore do not charge any additional cost to the algorithm when the transformation is applied. The transformations also allow to model requests occurring in the $k$-taxi problem. We show that for $\alpha$-Lipschitz transformations, the competitive ratio is $\Theta(\alpha)^{n-2}$ on $n$-point metrics. Here, the upper bound is achieved by a deterministic algorithm and the lower bound holds even for randomized algorithms. For the $k$-taxi problem, we prove a competitive ratio of $\tilde O((n\log k)^2)$. For chasing convex bodies, we show that even with contracting transformations no competitive algorithm exists. The problem T-MSS has a striking connection to the following deep mathematical question: Given a finite metric space $M$, what is the required cardinality of an extension $\hat M\supseteq M$ where each partial isometry on $M$ extends to an automorphism? We give partial answers for special cases.

中文翻译：

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转型的计量服务系统

我们考虑基本在线度量服务系统 (MSS) 问题的概括，其中可行区域可以在请求之间转换。在这个我们称为 T-MSS 的问题中，算法在度量空间中维护一个点，并且必须为一系列请求提供服务。每个请求都是度量空间的子集 $A_t$ 和 $B_t$ 之间的映射（转换）$f_t\colon A_t\to B_t$。为了服务它，算法必须去到一个点 $a_t\in A_t$，支付与它之前位置的距离。然后，应用转换，将算法的状态修改为 $f_t(a_t)$。此类转换可以模拟，例如，超出算法控制范围的环境变化，因此我们不会在应用转换时向算法收取任何额外费用。转换还允许对 $k$-taxi 问题中发生的请求建模。我们表明，对于 $\alpha$-Lipschitz 变换，在 $n$-point 指标上的竞争比率是 $\Theta(\alpha)^{n-2}$。在这里，上限是通过确定性算法实现的，而下限甚至对于随机算法也成立。对于$k$-taxi 问题，我们证明了$\tilde O((n\log k)^2)$ 的竞争比率。对于追逐凸体，我们表明即使有收缩变换也不存在竞争算法。T-MSS 问题与以下深层数学问题有着惊人的联系：给定一个有限度量空间 $M$，扩展 $\hat M\supseteq M$ 的所需基数是多少，其中 $M$ 上的每个部分等距扩展自同构？我们对特殊情况给出部分答案。我们表明，对于 $\alpha$-Lipschitz 变换，在 $n$-point 指标上的竞争比率是 $\Theta(\alpha)^{n-2}$。在这里，上限是通过确定性算法实现的，而下限甚至对于随机算法也成立。对于$k$-taxi 问题，我们证明了$\tilde O((n\log k)^2)$ 的竞争比率。对于追逐凸体，我们表明即使有收缩变换也不存在竞争算法。T-MSS 问题与以下深层数学问题有着惊人的联系：给定一个有限度量空间 $M$，扩展 $\hat M\supseteq M$ 的所需基数是多少，其中 $M$ 上的每个部分等距扩展自同构？我们对特殊情况给出部分答案。我们表明，对于 $\alpha$-Lipschitz 变换，在 $n$-point 指标上的竞争比率是 $\Theta(\alpha)^{n-2}$。在这里，上限是通过确定性算法实现的，而下限甚至对于随机算法也成立。对于$k$-taxi 问题，我们证明了$\tilde O((n\log k)^2)$ 的竞争比率。对于追逐凸体，我们表明即使有收缩变换也不存在竞争算法。T-MSS 问题与以下深层数学问题有着惊人的联系：给定一个有限度量空间 $M$，扩展 $\hat M\supseteq M$ 的所需基数是多少，其中 $M$ 上的每个部分等距扩展自同构？我们对特殊情况给出部分答案。在这里，上限是通过确定性算法实现的，而下限甚至对于随机算法也成立。对于$k$-taxi 问题，我们证明了$\tilde O((n\log k)^2)$ 的竞争比率。对于追逐凸体，我们表明即使有收缩变换也不存在竞争算法。T-MSS 问题与以下深层数学问题有着惊人的联系：给定一个有限度量空间 $M$，扩展 $\hat M\supseteq M$ 的所需基数是多少，其中 $M$ 上的每个部分等距扩展自同构？我们对特殊情况给出部分答案。在这里，上限是通过确定性算法实现的，而下限甚至对于随机算法也成立。对于$k$-taxi 问题，我们证明了$\tilde O((n\log k)^2)$ 的竞争比率。对于追逐凸体，我们表明即使有收缩变换也不存在竞争算法。T-MSS 问题与以下深层数学问题有着惊人的联系：给定一个有限度量空间 $M$，扩展 $\hat M\supseteq M$ 的所需基数是多少，其中 $M$ 上的每个部分等距扩展自同构？我们对特殊情况给出部分答案。我们表明，即使有收缩变换，也不存在竞争算法。T-MSS 问题与以下深层数学问题有着惊人的联系：给定一个有限度量空间 $M$，扩展 $\hat M\supseteq M$ 的所需基数是多少，其中 $M$ 上的每个部分等距扩展自同构？我们对特殊情况给出部分答案。我们表明，即使有收缩变换，也不存在竞争算法。T-MSS 问题与以下深层数学问题有着惊人的联系：给定一个有限度量空间 $M$，扩展 $\hat M\supseteq M$ 的所需基数是多少，其中 $M$ 上的每个部分等距扩展自同构？我们对特殊情况给出部分答案。