In this paper we consider the fundamental problem of finding subgraphs in highly dynamic distributed networks - networks which allow an arbitrary number of links to be inserted / deleted per round. We show that the problems of $k$-clique membership listing (for any $k\geq 3$), 4-cycle listing and 5-cycle listing can be deterministically solved in $O(1)$-amortized round complexity, even with limited logarithmic-sized messages. To achieve $k$-clique membership listing we introduce a very useful combinatorial structure which we name the robust $2$-hop neighborhood. This is a subset of the 2-hop neighborhood of a node, and we prove that it can be maintained in highly dynamic networks in $O(1)$-amortized rounds. We also show that maintaining the actual 2-hop neighborhood of a node requires near linear amortized time, showing the necessity of our definition. For $4$-cycle and $5$-cycle listing, we need edges within hop distance 3, for which we similarly define the robust $3$-hop neighborhood and prove it can be maintained in highly dynamic networks in $O(1)$-amortized rounds. We complement the above with several impossibility results. We show that membership listing of any other graph on $k\geq 3$ nodes except $k$-clique requires an almost linear number of amortized communication rounds. We also show that $k$-cycle listing for $k\geq 6$ requires $\Omega(\sqrt{n} / \log n)$ amortized rounds. This, combined with our upper bounds, paints a detailed picture of the complexity landscape for ultra fast graph finding algorithms in this highly dynamic environment.

中文翻译：

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在高动态网络中查找子图

在本文中，我们考虑在高度动态的分布式网络中寻找子图的基本问题——允许每轮插入/删除任意数量的链接的网络。我们表明 $k$-clique 成员列表（对于任何 $k\geq 3$）、4-cycle 列表和 5-cycle 列表的问题可以在 $O(1)$-摊销轮复杂度中确定性地解决，即使具有有限的对数大小的消息。为了实现 $k$-clique 成员列表，我们引入了一个非常有用的组合结构，我们将其命名为强大的 $2$-hop 邻域。这是节点的 2 跳邻域的一个子集，我们证明它可以在 $O(1)$-摊销轮次中的高度动态网络中维护。我们还表明，维护节点的实际 2 跳邻域需要接近线性的分摊时间，显示了我们定义的必要性。对于 $4$-cycle 和 $5$-cycle 列表，我们需要跳距离 3 内的边，为此我们类似地定义了健壮的 $3$-hop 邻域，并证明它可以在 $O(1)$- 的高度动态网络中维护摊销轮次。我们用几个不可能的结果来补充上述内容。我们表明，除了 $k$-clique 之外，$k\geq 3$ 节点上的任何其他图的成员资格列表都需要几乎线性的分摊通信轮数。我们还表明 $k\geq 6$ 的 $k$-cycle 列表需要 $\Omega(\sqrt{n} / \log n)$ 摊销轮次。这与我们的上限相结合，为这个高度动态的环境中的超快速图查找算法绘制了复杂性格局的详细图景。为此，我们类似地定义了稳健的 $3$-hop 邻域，并证明它可以在 $O(1)$-摊销轮次中的高度动态网络中维护。我们用几个不可能的结果来补充上述内容。我们表明，除了 $k$-clique 之外，$k\geq 3$ 节点上的任何其他图的成员资格列表都需要几乎线性的分摊通信轮数。我们还表明 $k\geq 6$ 的 $k$-cycle 列表需要 $\Omega(\sqrt{n} / \log n)$ 摊销轮次。这与我们的上限相结合，为这个高度动态的环境中的超快速图查找算法绘制了复杂性格局的详细图景。为此，我们类似地定义了稳健的 $3$-hop 邻域，并证明它可以在 $O(1)$-摊销轮次中的高度动态网络中维护。我们用几个不可能的结果来补充上述内容。我们表明，除了 $k$-clique 之外，$k\geq 3$ 节点上的任何其他图的成员资格列表都需要几乎线性的分摊通信轮数。我们还表明 $k\geq 6$ 的 $k$-cycle 列表需要 $\Omega(\sqrt{n} / \log n)$ 摊销轮次。这与我们的上限相结合，为这个高度动态的环境中的超快速图查找算法绘制了复杂性格局的详细图景。我们表明，除了 $k$-clique 之外，$k\geq 3$ 节点上的任何其他图的成员资格列表都需要几乎线性的分摊通信轮数。我们还表明 $k\geq 6$ 的 $k$-cycle 列表需要 $\Omega(\sqrt{n} / \log n)$ 摊销轮次。这与我们的上限相结合，为这个高度动态的环境中的超快速图查找算法绘制了复杂性格局的详细图景。我们表明，除了 $k$-clique 之外，$k\geq 3$ 节点上的任何其他图的成员资格列表都需要几乎线性的分摊通信轮数。我们还表明 $k\geq 6$ 的 $k$-cycle 列表需要 $\Omega(\sqrt{n} / \log n)$ 摊销轮次。这与我们的上限相结合，为这个高度动态的环境中的超快速图查找算法绘制了复杂性格局的详细图景。