Abstract

We first obtain that NI rings satisfy a property that if ab is central for elements a, b, then ${(ab)}^n={(ba)}^n$ for some $n\ge 1$, by applying a property of reduced rings. We prove next the following: Let R be a ring and I be the ideal of R generated by the subset $\{ab-ba|a,b\in R\mathrm{ }\text{such}\mathrm{ }\text{that}ab\mathrm{ }\text{is}\mathrm{ }\text{central}\mathrm{ }\text{in}\mathrm{ }R\}$. (i) Suppose that ab is central for $a,b\in R$ and ab – ba is a nonzero nilpotent. Then, $A(ab-ba)A$ is a nonzero nilpotent ideal of the subring A of R, where 1 is the identity of R, $B=\mathbb{Z}·1=\left\{n1\right|n\in \mathbb{Z}\}$, and A is the algebra $B〈a,b〉$ generated by a, b over B. (ii) If R is NI, then I is nil and R/I is an Abelian NI ring. (iii) Let R be reversible and ab be central for $a,b\in R$. Then, there exists $l\ge 1$ such that, for every $n\ge l,{(ab)}^n={(ba)}^n$ and ${(ab)}^n=b^h{(ab)}^{n-h}{a}^h$ for all $1\le h\le n$; especially $a^n{b}^n={(ab)}^n=b^n{a}^n$. We call a ring pseudo-NI if it satisfies the first property of NI rings to be mentioned and examine the structures of NI and pseudo-NI rings in several ring theoretic situations, showing that semisimple Artinian rings are pseudo-NI.

摘要

我们首先获得NI环满足以下属性：如果ab对于元素a，b居中，则${（\mathrm{一个}b）}^{ñ}={（b\mathrm{一个}）}^{ñ}$ 对于一些 $ñ\ge \mathrm{1个}$，通过应用缩环的属性。接下来我们证明以下内容：令R为环，而I为子集生成的R的理想值$\{\mathrm{一个}b-b\mathrm{一个}|\mathrm{一个}，b\in \mathrm{[R}\mathrm{ }\text{这样}\mathrm{ }\text{那}\mathrm{一个}b\mathrm{ }\text{是}\mathrm{ }\text{中央}\mathrm{ }\text{在}\mathrm{ }\mathrm{[R}\}$。（i）假设ab对于$\mathrm{一个}，b\in \mathrm{[R}$和AB - BA是一个非零幂零。然后，$\mathrm{一个}（\mathrm{一个}b-b\mathrm{一个}）\mathrm{一个}$是R的子环A的非零幂零理想，其中1是R的标识，$乙=\mathbb{ž}·\mathrm{1个}=\left\{ñ\mathrm{1个}\right|ñ\in \mathbb{ž}\}$并且A是代数$乙〈\mathrm{一个}，b〉$通过生成一个，b过乙。（ii）如果R为NI，则I为nil，R / I为Abelian NI环。（iii）设R为可逆且a为中心$\mathrm{一个}，b\in \mathrm{[R}$。然后，存在$升\ge \mathrm{1个}$ 这样，对于每个 $ñ\ge 升，{（\mathrm{一个}b）}^{ñ}={（b\mathrm{一个}）}^{ñ}$ 和 ${（\mathrm{一个}b）}^{ñ}=b^H{（\mathrm{一个}b）}^{ñ-H}{\mathrm{一个}}^H$ 对全部 $\mathrm{1个}\le H\le ñ$; 特别${\mathrm{一个}}^{ñ}{b}^{ñ}={（\mathrm{一个}b）}^{ñ}=b^{ñ}{\mathrm{一个}}^{ñ}$。如果它满足要提及的NI环的第一个特性，我们就称其为环伪NI，并在几种环理论情况下检查NI和伪NI环的结构，这表明半简单的Artinian环是伪NI。