We consider $C^*$-algebras constructed from compact group actions on complex vector bundles $E\to X$ endowed with a Hermitian metric. An action of $G$ by isometries on $E\to X$ induces an action on the $C^*$-correspondence $\Gamma(E)$ over $C(X)$ consisting of continuous sections, and on the associated Cuntz-Pimsner algebra $\mathcal O_E$, so we can study the crossed product $\mathcal O_E\rtimes G$. If the action is free and rank $E=n$, then we prove that $\mathcal O_E\rtimes G$ is Morita-Rieffel equivalent to a field of Cuntz algebras $\mathcal O_n$ over the orbit space $X/G$. If the action is fiberwise, then $\mathcal O_E\rtimes G$ becomes a continuous field of crossed products $\mathcal O_n\rtimes G$. For transitive actions, we show that $\mathcal O_E\rtimes G$ is Morita-Rieffel equivalent to a graph $C^*$-algebra.

中文翻译：

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向量丛的 C⁎-代数的对称性

我们认为 $C^*$-代数是从复杂向量丛 $E\to X$ 上的紧凑群动作构造的，赋予 Hermitian 度量。对 $E\to X$ 的等距对 $G$ 的作用引起对 $C^*$-对应关系 $\Gamma(E)$ 的作用，作用在由连续部分组成的 $C(X)$ 上，以及对相关联的Cuntz-Pimsner 代数 $\mathcal O_E$，所以我们可以研究交叉乘积 $\mathcal O_E\rtimes G$。如果动作是自由的并且秩 $E=n$，那么我们证明 $\mathcal O_E\rtimes G$ 是 Morita-Rieffel 等价于在轨道空间 $X/G$ 上的 Cuntz 代数 $\mathcal O_n$ . 如果动作是纤维方向的，则 $\mathcal O_E\rtimes G$ 成为交叉积 $\mathcal O_n\rtimes G$ 的连续域。对于传递动作，我们证明 $\mathcal O_E\rtimes G$ 是 Morita-Rieffel 等价于图 $C^*$-algebra。