Let G be a finite group and let N ( G ) denote the set of conjugacy class sizes of G . Thompson’s conjecture states that if G is a centerless group and S is a non-abelian simple group satisfying N ( G ) = N ( S ), then G ≅ S . In this paper, we investigate a variation of this conjecture for some symmetric groups under a weaker assumption. In particular, it is shown that G ≅ Sym( p + 1) if and only if | G | = ( p + 1)! and G has a special conjugacy class of size ( p + 1)!/ p , where p > 5 is a prime number. Consequently, if G is a centerless group with N ( G ) = N (Sym( p + 1)), then G ≅ Sym( p + 1).

中文翻译：

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对称群的汤普森猜想的变体

令 G 是一个有限群，并令 N ( G ) 表示 G 的共轭类大小的集合。汤普森猜想指出，如果 G 是无心群，S 是满足 N ( G ) = N ( S ) 的非阿贝尔单群，则 G ≅ S 。在本文中，我们在较弱的假设下研究了一些对称群的这种猜想的变化。特别地，证明 G ≅ Sym( p + 1) 当且仅当 | G | = ( p + 1)！并且 G 具有大小为 ( p + 1)!/ p 的特殊共轭类，其中 p > 5 是素数。因此，如果 G 是 N ( G ) = N (Sym( p + 1)) 的无心群，则 G ≅ Sym( p + 1)。