Let $f$ be a conservative partially hyperbolic diffeomorphism, which is homotopic to an Anosov automorphism $A$ on $\mathbb{T}^3$. We show that the stable and unstable bundles of $f$ are jointly integrable if and only if every periodic point of $f$ admits the same center Lyapunov exponent with $A$. In particular, $f$ is Anosov. Thus every conservative partially hyperbolic diffeomorphism, which is homotopic to an Anosov automorphism on $\mathbb{T}^3$, is ergodic. This proves the Ergodic Conjecture proposed by Hertz-Hertz-Ures on $\mathbb{T}^3$.

中文翻译：

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中心李雅普诺夫指数的刚性和 $su$-可积性

令 $f$ 是一个保守的部分双曲微分同胚，它与 $\mathbb{T}^3$ 上的 Anosov 自同构 $A$ 同伦。我们证明 $f$ 的稳定丛和不稳定丛是联合可积的，当且仅当 $f$ 的每个周期点都承认与 $A$ 相同的中心李雅普诺夫指数。特别是，$f$ 是 Anosov。因此，与 $\mathbb{T}^3$ 上的 Anosov 自同构同伦的每个保守的部分双曲微分同胚都是遍历的。这证明了 Hertz-Hertz-Ures 在 $\mathbb{T}^3$ 上提出的遍历猜想。