In this paper, we consider a one-dimensional Cox-Ingersoll-Ross (CIR) process whose drift coefficient depends on unknown parameters. Considering the process discretely observed at high frequency, we prove the local asymptotic normality property in the subcritical case, the local asymptotic quadraticity in the critical case, and the local asymptotic mixed normality property in the supercritical case. To obtain these results, we use the Malliavin calculus techniques developed recently for CIR process by Alos et {\it al.} \cite{AE08} and Altmayer et {\it al.} \cite{AN14} together with the $L^p$-norm estimation for positive and negative moments of the CIR process obtained by Bossy et {\it al.} \cite{BD07} and Ben Alaya et {\it al.} \cite{BK12,BK13}. In this study, we require the same conditions of high frequency $\Delta_n\rightarrow 0$ and infinite horizon $n\Delta_n\rightarrow\infty$ as in the case of ergodic diffusions with globally Lipschitz coefficients studied earlier by Gobet \cite{G02}. However, in the non-ergodic cases, additional assumptions on the decreasing rate of $\Delta_n$ are required due to the fact that the square root diffusion coefficient of the CIR process is not regular enough. Indeed, we assume $n\Delta_n^{3}\to 0$ for the critical case and $\Delta_n^{2}e^{-b_0n\Delta_n}\to 0$ for the supercritical case.

中文翻译：

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具有离散观测值的 Cox-Ingersoll-Ross 过程的局部渐近特性

在本文中，我们考虑一维 Cox-Ingersoll-Ross (CIR) 过程，其漂移系数取决于未知参数。考虑到高频离散观测的过程，我们证明了亚临界情况下的局部渐近正态性，临界情况下的局部渐近二次性，以及超临界情况下的局部渐近混合正态性。为了获得这些结果，我们使用 Alos et {\it al.} \cite{AE08} 和 Altmayer et {\it al.} \cite{AN14} 最近为 CIR 过程开发的 Malliavin 演算技术以及 $L^ Bossy 等人 {\it al.} \cite{BD07} 和 Ben Alaya 等人 {\it al.} \cite{BK12,BK13} 获得的 CIR 过程正负矩的 p$-范数估计。在这项研究中，我们需要与 Gobet \cite{G02} 早先研究的具有全局 Lipschitz 系数的遍历扩散的情况相同的高频 $\Delta_n\rightarrow 0$ 和无限视界 $n\Delta_n\rightarrow\infty$ 的条件。然而，在非遍历情况下，由于 CIR 过程的平方根扩散系数不够规律，因此需要额外假设 $\Delta_n$ 的下降率。事实上，我们假设在临界情况下 $n\Delta_n^{3}\to 0$ 和 $\Delta_n^{2}e^{-b_0n\Delta_n}\to 0$ 对于超临界情况。由于 CIR 过程的平方根扩散系数不够规律，因此需要对 $\Delta_n$ 的下降率进行额外假设。事实上，我们假设在临界情况下 $n\Delta_n^{3}\to 0$ 和 $\Delta_n^{2}e^{-b_0n\Delta_n}\to 0$ 对于超临界情况。由于 CIR 过程的平方根扩散系数不够规律，因此需要对 $\Delta_n$ 的下降率进行额外假设。事实上，我们假设在临界情况下 $n\Delta_n^{3}\to 0$ 和 $\Delta_n^{2}e^{-b_0n\Delta_n}\to 0$ 对于超临界情况。