Let $n\ge 2k-1>1$, $\left[n\right]=\{1,2,\dots ,n\}$. For a family $\mathcal{F}$ of $k$-subsets of $\left[n\right]$ let $\partial \mathcal{F}$ be the immediate shadow (cf. Definition 1.1) of $\mathcal{F}$. Suppose that $|F\cap F^{\prime }|\ge 2$ for all $F,F^{\prime }\in \mathcal{F}$. We conjecture that $\left|\mathcal{F}\right|+\left|\partial \mathcal{F}\right|\le 3\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{k-2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{k-3}\right)$ and prove it for $n=2k-1$, $n\ge 3(k-1)$ and also for $k\le 10$. This problem is somewhat unusual but we exhibit deep connections to the Erdős–Ko–Rado Theorem and to the Erdős Matching Conjecture. Some related problems are also considered.

中文翻译：

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影子相交家庭的规模

让 $ñ\ge 2ķ-\mathrm{1个}>\mathrm{1个}$， $\left[ñ\right]=\{\mathrm{1个}，2，\dots ，ñ\}$。对于一个家庭$\mathcal{F}$ 的 $ķ$-的子集 $\left[ñ\right]$ 让 $\partial \mathcal{F}$ 是...的直接阴影（参见定义1.1） $\mathcal{F}$。假设$|F\cap F^{\prime }|\ge 2$ 对所有人 $F，F^{\prime }\in \mathcal{F}$。我们推测$\left|\mathcal{F}\right|+\left|\partial \mathcal{F}\right|\le 3\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{ñ-2}{ķ-2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{ñ-2}{ķ-3}\right)$ 并证明 $ñ=2ķ-\mathrm{1个}$， $ñ\ge 3（ķ-\mathrm{1个}）$ 并且也 $ķ\le 10$。这个问题多少有些特殊，但是我们与Erdős-Ko-Rado定理和Erdős匹配猜想有着深厚的联系。还考虑了一些相关问题。