The authors consider a scattering problem for electric potentials that have a component which is critically singular in the sense of Lebesgue spaces, and a component given by a measure supported on a compact Lipschitz hypersurface. They study direct and inverse point-source scattering under the assumptions that the potentials are real-valued and compactly supported. To solve the direct scattering problem, the authors introduce two functional spaces ---sort of Bourgain type spaces--- that allow to refine the classical resolvent estimates of Agmon and Hormander, and Kenig, Ruiz and Sogge. These spaces seem to be very useful to deal with the critically-singular and $\delta$-shell components of the potentials at the same time. Furthermore, these spaces and their corresponding resolvent estimates turn out to have a strong connection with the estimates for the conjugated Laplacian used in the context of the inverse Calderon problem. In fact, the authors derive the classical estimates by Sylvester and Uhlmann, and the more recent ones by Haberman and Tataru after some embedding properties of these new spaces. Regarding the inverse scattering problem,the authors prove uniqueness for the potentials from point-source scattering data at fix energy. To address the question of uniqueness the authors combine some of the most advanced techniques in the construction of complex geometrical optics solutions.

中文翻译：

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用临界奇异和 $$\delta $$-Shell Potentials 散射

作者考虑了一个电势的散射问题，该电势的分量在 Lebesgue 空间的意义上是临界奇异的，并且分量是由支持在紧凑 Lipschitz 超曲面上的测度给出的。他们在电位是实值和紧凑支持的假设下研究直接和反向点源散射。为了解决直接散射问题，作者引入了两个函数空间——某种 Bourgain 类型空间——允许改进 Agmon 和 Hormander 以及 Kenig、Ruiz 和 Sogge 的经典求解器估计。这些空间对于同时处理势的临界奇异和 $\delta$-shell 分量似乎非常有用。此外，这些空间及其相应的解算估计与逆卡尔德隆问题中使用的共轭拉普拉斯算子的估计有很强的联系。事实上，作者根据这些新空间的一些嵌入特性推导出了 Sylvester 和 Uhlmann 的经典估计，以及 Haberman 和 Tataru 的最新估计。对于逆散射问题，作者证明了固定能量点源散射数据势的唯一性。为了解决唯一性问题，作者结合了构建复杂几何光学解决方案中的一些最先进技术。以及 Haberman 和 Tataru 在这些新空间的一些嵌入特性之后的最新版本。对于逆散射问题，作者证明了固定能量点源散射数据势的唯一性。为了解决唯一性问题，作者结合了构建复杂几何光学解决方案中的一些最先进技术。以及 Haberman 和 Tataru 在这些新空间的一些嵌入特性之后的最新版本。对于逆散射问题，作者证明了固定能量点源散射数据势的唯一性。为了解决唯一性问题，作者结合了构建复杂几何光学解决方案中的一些最先进技术。