Basic synchronous flooding proceeds in rounds. Given a finite undirected (network) graph $G$, a set of sources $I \subseteq G$ initiate flooding in the first round by every node in $I$ sending the same message to all of its neighbours. In each subsequent round, nodes send the message to all of their neighbours from which they did not receive the message in the previous round. Flooding terminates when no node in $G$ sends a message in a round. The question of termination has not been settled - rather, non-termination is implicitly assumed to be possible. We show that flooding terminates on every finite graph. In the case of a single source $g_0$, flooding terminates in $e$ rounds if $G$ is bipartite and $j$ rounds with $e < j \leq e+d+1$ otherwise, where $e$ and $d$ are the eccentricity of $g_0$ and diameter of $G$ respectively. For communication/broadcast to all nodes, this is asymptotically time optimal and obviates the need for construction and maintenance of spanning structures. We extend to dynamic flooding initiated in multiple rounds with possibly multiple messages. The cases where a node only sends a message to neighbours from which it did not receive {\it any} message in the previous round, and where a node sends some highest ranked message to all neighbours from which it did not receive {\it that} message in the previous round, both terminate. All these cases also hold if the network graph loses edges over time. Non-terminating cases include asynchronous flooding, flooding where messages have fixed delays at edges, cases of multiple-message flooding and cases where the network graph acquires edges over time.

中文翻译：

---

终止洪水案件

基本的同步泛洪循环进行。给定一个有限的无向（网络）图 $G$，一组源 $I \subseteq G$ 在第一轮中通过 $I$ 中的每个节点向其所有邻居发送相同的消息来发起泛洪。在随后的每一轮中，节点将消息发送给它们在上一轮中没有收到消息的所有邻居。当 $G$ 中没有节点在一轮中发送消息时，泛洪终止。终止的问题尚未解决——相反，隐含地假设不终止是可能的。我们表明泛洪在每个有限图上终止。在单个源 $g_0$ 的情况下，如果 $G$ 是二分的，则泛洪在 $e$ 轮中终止，并且 $j$ 轮以 $e < j \leq e+d+1$ 否则，其中 $e$ 和 $ d$分别是$g_0$的偏心率和$G$的直径。对于到所有节点的通信/广播，这是渐近时间最优的，并且不需要构建和维护跨越结构。我们扩展到多轮发起的动态泛洪，可能有多个消息。一个节点只向在前一轮中没有收到 {\it any} 消息的邻居发送消息，以及一个节点向所有邻居发送一些排名最高的消息到它没有收到 {\it that } 前一轮的消息，都终止。如果网络图随着时间的推移失去边，所有这些情况也成立。非终止情况包括异步泛洪、消息在边缘具有固定延迟的泛洪、多消息泛洪的情况以及网络图随时间获取边的情况。这是渐近时间最优的，并且不需要建造和维护跨越结构。我们扩展到多轮发起的动态泛洪，可能有多个消息。一个节点只向在前一轮中没有收到 {\it any} 消息的邻居发送消息，以及一个节点向所有邻居发送一些排名最高的消息到它没有收到 {\it that } 前一轮的消息，都终止。如果网络图随着时间的推移失去边，所有这些情况也成立。非终止情况包括异步泛洪、消息在边缘具有固定延迟的泛洪、多消息泛洪的情况以及网络图随时间获取边的情况。这是渐近时间最优的，并且不需要建造和维护跨越结构。我们扩展到多轮发起的动态泛洪，可能有多个消息。一个节点只向在前一轮中没有收到 {\it any} 消息的邻居发送消息，以及一个节点向所有邻居发送一些排名最高的消息到它没有收到 {\it that } 前一轮的消息，都终止。如果网络图随着时间的推移失去边，所有这些情况也成立。非终止情况包括异步泛洪、消息在边缘具有固定延迟的泛洪、多消息泛洪的情况以及网络图随时间获取边的情况。我们扩展到多轮发起的动态泛洪，可能有多个消息。一个节点只向在前一轮中没有收到 {\it any} 消息的邻居发送消息，以及一个节点向所有邻居发送一些排名最高的消息到它没有收到 {\it that } 前一轮的消息，都终止。如果网络图随着时间的推移失去边，所有这些情况也成立。非终止情况包括异步泛洪、消息在边缘具有固定延迟的泛洪、多消息泛洪的情况以及网络图随时间获取边的情况。我们扩展到多轮发起的动态泛洪，可能有多个消息。一个节点只向在前一轮中没有收到 {\it any} 消息的邻居发送消息，以及一个节点向所有邻居发送一些排名最高的消息到它没有收到 {\it that } 前一轮的消息，都终止。如果网络图随着时间的推移失去边，所有这些情况也成立。非终止情况包括异步泛洪、消息在边缘具有固定延迟的泛洪、多消息泛洪的情况以及网络图随时间获取边的情况。并且当节点向所有邻居发送一些排名最高的消息时，它在上一轮中没有收到 {\it that} 消息，两者都终止。如果网络图随着时间的推移失去边，所有这些情况也成立。非终止情况包括异步泛洪、消息在边缘具有固定延迟的泛洪、多消息泛洪的情况以及网络图随时间获取边的情况。并且当节点向所有邻居发送一些排名最高的消息时，它在上一轮中没有收到 {\it that} 消息，两者都终止。如果网络图随着时间的推移失去边，所有这些情况也成立。非终止情况包括异步泛洪、消息在边缘具有固定延迟的泛洪、多消息泛洪的情况以及网络图随时间获取边的情况。