Given $n$ polynomials $p_1, \dots, p_n$ of degree at most $n$ with $\|p_i\|_\infty \le 1$ for $i \in [n]$, we show there exist signs $x_1, \dots, x_n \in \{-1,1\}$ so that \[\Big\|\sum_{i=1}^n x_i p_i\Big\|_\infty < 30\sqrt{n}, \] where $\|p\|_\infty := \sup_{|x| \le 1} |p(x)|$. This result extends the Rudin-Shapiro sequence, which gives an upper bound of $O(\sqrt{n})$ for the Chebyshev polynomials $T_1, \dots, T_n$, and can be seen as a polynomial analogue of Spencer's "six standard deviations" theorem.

中文翻译：

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Chebyshev 范数中的平衡多项式

给定 $n$ 多项式 $p_1, \dots, p_n$ 的度数最多为 $n$，其中 $\|p_i\|_\infty \le 1$ 为 $i \in [n]$，我们证明存在符号 $ x_1, \dots, x_n \in \{-1,1\}$ 使得 \[\Big\|\sum_{i=1}^n x_i p_i\Big\|_\infty < 30\sqrt{n} , \] 其中 $\|p\|_\infty := \sup_{|x| \le 1} |p(x)|$。这个结果扩展了 Rudin-Shapiro 序列，它给出了切比雪夫多项式 $T_1、\dots、T_n$ 的上限 $O(\sqrt{n})$，并且可以看作是 Spencer 的“六标准差”定理。