We settle the complexity of the $(\Delta+1)$-coloring and $(\Delta+1)$-list coloring problems in the CONGESTED CLIQUE model by presenting a simple deterministic algorithm for both problems running in a constant number of rounds. This matches the complexity of the recent breakthrough randomized constant-round $(\Delta+1)$-list coloring algorithm due to Chang et al. (PODC'19), and significantly improves upon the state-of-the-art $O(\log \Delta)$-round deterministic $(\Delta+1)$-coloring bound of Parter (ICALP'18). A remarkable property of our algorithm is its simplicity. Whereas the state-of-the-art randomized algorithms for this problem are based on the quite involved local coloring algorithm of Chang et al. (STOC'18), our algorithm can be described in just a few lines. At a high level, it applies a careful derandomization of a recursive procedure which partitions the nodes and their respective palettes into separate bins. We show that after $O(1)$ recursion steps, the remaining uncolored subgraph within each bin has linear size, and thus can be solved locally by collecting it to a single node. This algorithm can also be implemented in the Massively Parallel Computation (MPC) model provided that each machine has linear (in $n$, the number of nodes in the input graph) space. We also show an extension of our algorithm to the MPC regime in which machines have sublinear space: we present the first deterministic $(\Delta+1)$-list coloring algorithm designed for sublinear-space MPC, which runs in $O(\log \Delta + \log\log n)$ rounds.

中文翻译：

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拥塞团中的简单、确定性、恒轮着色

我们通过提出一个简单的确定性算法来解决 CONGESTED CLIQUE 模型中 $(\Delta+1)$-着色和 $(\Delta+1)$-list 着色问题的复杂性，这两个问题在恒定轮数中运行. 这与 Chang 等人最近突破的随机常量轮 $(\Delta+1)$-list 着色算法的复杂性相匹配。(PODC'19)，并显着改进了 Parter (ICALP'18) 的最先进的 $O(\log \Delta)$-round 确定性 $(\Delta+1)$-coloring bound。我们算法的一个显着特性是它的简单性。而针对这个问题的最先进的随机算法是基于 Chang 等人相当复杂的局部着色算法。（STOC'18），我们的算法可以用几行来描述。在高水平上，它应用了递归过程的仔细去随机化，将节点及其各自的调色板划分为单独的箱。我们表明，在 $O(1)$ 递归步骤之后，每个 bin 中剩余的未着色子图具有线性大小，因此可以通过将其收集到单个节点来本地解决。该算法也可以在大规模并行计算 (MPC) 模型中实现，前提是每台机器都具有线性（以 $n$ 表示，输入图中的节点数）空间。我们还展示了我们的算法对 MPC 机制的扩展，其中机器具有亚线性空间：我们提出了第一个为亚线性空间 MPC 设计的确定性 $(\Delta+1)$-list 着色算法，它在 $O(\ log \Delta + \log\log n)$ 轮。我们表明，在 $O(1)$ 递归步骤之后，每个 bin 中剩余的未着色子图具有线性大小，因此可以通过将其收集到单个节点来本地解决。该算法也可以在大规模并行计算 (MPC) 模型中实现，前提是每台机器都具有线性（以 $n$ 表示，输入图中的节点数）空间。我们还展示了我们的算法对 MPC 机制的扩展，其中机器具有亚线性空间：我们提出了第一个为亚线性空间 MPC 设计的确定性 $(\Delta+1)$-list 着色算法，它在 $O(\ log \Delta + \log\log n)$ 轮。我们表明，在 $O(1)$ 递归步骤之后，每个 bin 中剩余的未着色子图具有线性大小，因此可以通过将其收集到单个节点来本地解决。该算法也可以在大规模并行计算 (MPC) 模型中实现，前提是每台机器都具有线性（以 $n$ 表示，输入图中的节点数）空间。我们还展示了我们的算法对 MPC 机制的扩展，其中机器具有亚线性空间：我们提出了第一个为亚线性空间 MPC 设计的确定性 $(\Delta+1)$-list 着色算法，它在 $O(\ log \Delta + \log\log n)$ 轮。该算法也可以在大规模并行计算 (MPC) 模型中实现，前提是每台机器都具有线性（以 $n$ 表示，输入图中的节点数）空间。我们还展示了我们的算法对 MPC 机制的扩展，其中机器具有亚线性空间：我们提出了第一个为亚线性空间 MPC 设计的确定性 $(\Delta+1)$-list 着色算法，它在 $O(\ log \Delta + \log\log n)$ 轮。该算法也可以在大规模并行计算 (MPC) 模型中实现，前提是每台机器都具有线性（以 $n$ 表示，输入图中的节点数）空间。我们还展示了我们的算法对 MPC 机制的扩展，其中机器具有亚线性空间：我们提出了第一个为亚线性空间 MPC 设计的确定性 $(\Delta+1)$-list 着色算法，它在 $O(\ log \Delta + \log\log n)$ 轮。