We show that, for every set of $n$ points in the $d$-dimensional unit cube, there is an empty axis-parallel box of volume at least $\Omega(d/n)$ as $n\to\infty$ and $d$ is fixed. In the opposite direction, we give a construction without an empty axis-parallel box of volume $O(d^2\log d/n)$. These improve on the previous best bounds of $\Omega(\log d/n)$ and $O(2^{7d}/n)$ respectively.

中文翻译：

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空轴平行盒

我们证明，对于 $d$ 维单位立方体中的每组 $n$ 点，存在一个体积至少为 $\Omega(d/n)$ 作为 $n\to\infty 的空轴平行盒$ 和 $d$ 是固定的。在相反的方向，我们给出了一个没有体积为 $O(d^2\log d/n)$ 的空轴平行盒的构造。这些分别改进了 $\Omega(\log d/n)$ 和 $O(2^{7d}/n)$ 之前的最佳边界。