Consider a non-doubling manifold with ends $M = \mathfrak{R}^{n}\sharp\, {\mathbb R}^{m}$ where $\mathfrak{R}^n=\mathbb{R}^n\times \mathbb{S}^{m-n}$ for $m> n \ge 3$. We say that an operator $L$ has a generalised Poisson kernel if $\sqrt{ L}$ generates a semigroup $e^{-t\sqrt{L}}$ whose kernel $p_t(x,y)$ has an upper bound similar to the kernel of $e^{-t\sqrt{\Delta}}$ where $\Delta$ is the Laplace-Beltrami operator on $M$. An example for operators with generalised Gaussian bounds is the Schrodinger operator $L = \Delta + V$ where $V$ is an arbitrary non-negative locally integrable potential. In this paper, our aim is to introduce the BMO space ${\rm BMO}_L(M)$ associated to operators with generalised Poisson bounds which serves as an appropriate setting for certain singular integrals with rough kernels to be bounded from $L^{\infty}(M)$ into this new ${\rm BMO}_L(M)$. On our ${\rm BMO}_L(M)$ spaces, we show that the John--Nirenberg inequality holds and we show an interpolation theorem for a holomorphic family of operators which interpolates between $L^q(M)$ and ${\rm BMO}_L(M)$. As an application, we show that the holomorphic functional calculus $m(\sqrt{L})$ is bounded from $L^{\infty}(M)$ into ${\rm BMO}_L(M)$, and bounded on $L^p(M)$ for $1 < p < \infty$.

中文翻译：

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BMO 空间与具有端点的非双流形上的广义泊松界的算子相关联

考虑一个非加倍流形，其末端为 $M = \mathfrak{R}^{n}\sharp\, {\mathbb R}^{m}$ where $\mathfrak{R}^n=\mathbb{R}^ n\times \mathbb{S}^{mn}$ 为 $m> n \ge 3$。如果 $\sqrt{ L}$ 生成一个半群 $e^{-t\sqrt{L}}$ 其核 $p_t(x,y)$ 有一个上边界类似于 $e^{-t\sqrt{\Delta}}$ 的内核，其中 $\Delta$ 是 $M$ 上的 Laplace-Beltrami 算子。具有广义高斯边界的算子的一个例子是薛定谔算子 $L = \Delta + V$，其中 $V$ 是一个任意的非负局部可积势。在本文中，我们的目标是引入与具有广义泊松界的算子相关联的 BMO 空间 ${\rm BMO}_L(M)$，该空间用作某些具有粗糙核的奇异积分的适当设置，以从 $L^{\infty} (M)$ 到这个新的 ${\rm BMO}_L(M)$。在我们的 ${\rm BMO}_L(M)$ 空间中，我们证明了 John--Nirenberg 不等式成立，并且我们证明了在 $L^q(M)$ 和 $ 之间插值的全纯运算符族的插值定理{\rm BMO}_L(M)$。作为一个应用，我们证明全纯泛函微积分 $m(\sqrt{L})$ 从 $L^{\infty}(M)$ 有界到 ${\rm BMO}_L(M)$，并且有界在 $L^p(M)$ 上，$1 < p < \infty$。我们证明了 John--Nirenberg 不等式成立，并且我们证明了全纯算子族的插值定理，它在 $L^q(M)$ 和 ${\rm BMO}_L(M)$ 之间进行插值。作为一个应用，我们证明了全纯泛函微积分 $m(\sqrt{L})$ 从 $L^{\infty}(M)$ 有界到 ${\rm BMO}_L(M)$，并且有界在 $L^p(M)$ 上，$1 < p < \infty$。我们证明了 John--Nirenberg 不等式成立，并且我们证明了全纯算子族的插值定理，它在 $L^q(M)$ 和 ${\rm BMO}_L(M)$ 之间进行插值。作为一个应用，我们证明了全纯泛函微积分 $m(\sqrt{L})$ 从 $L^{\infty}(M)$ 有界到 ${\rm BMO}_L(M)$，并且有界在 $L^p(M)$ 上，$1 < p < \infty$。