Abstract In this paper, we investigate two types of problems (the initial-value problem and nonlocal Cauchy problem) for fractional differential equations involving ψ-Hilfer derivative in multivariable case (ψ-m-Hilfer derivative). First we propose and discuss ψ-fractional integral, ψ-fractional derivative and ψ-Hilfer type fractional derivative of a multivariable function f : ℝm → ℝ (m is a positive integer). Then, using the properties of the ψ-m-Hilfer fractional derivative with m = 1 (the ψ-Hilfer derivative), we derive an equivalent relationship between solutions to the initial-value (Cauchy) problem and solutions to some integral equations, and also present an existence and uniqueness theorem. Based on the equivalency relationship, we establish new and general existence results for the nonlocal Cauchy problem of fractional differential equations involving ψ-Hilfer multivariable operators in the space of weighted continuous functions. Moreover, we obtain a new Gronwall-type inequality with singular kernel, and derive the dependence of the solution on the order and the initial condition for the fractional Cauchy problem with the help of this Gronwall-type inequality. Finally, some examples are given to illustrate our results. Compared with the recent paper [2] and other previous works, the novelties in this paper are in treating the multivariable case of operators (f : ℝm → ℝ, m is a positive integer).

中文翻译：

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涉及 ψ-Hilfer 多变量算子的分数阶微分方程的初值/非局部柯西问题

摘要 在本文中，我们研究了涉及多变量情况下ψ-Hilfer 导数（ψ-m-Hilfer 导数）的分数阶微分方程的两类问题（初值问题和非局部Cauchy 问题）。首先我们提出并讨论多元函数 f : ℝm → ℝ (m 是正整数) 的 ψ-分数积分、ψ-分数导数和 ψ-Hilfer 型分数导数。然后，利用 m = 1 的 ψ-m-Hilfer 分数阶导数（ψ-Hilfer 导数）的性质，我们推导出初值（柯西）问题的解与一些积分方程的解之间的等价关系，并且还提出了存在唯一性定理。根据等价关系，我们为加权连续函数空间中涉及 ψ-Hilfer 多变量算子的分数阶微分方程的非局部柯西问题建立了新的普遍存在结果。此外，我们得到了一个新的具有奇异核的 Gronwall 型不等式，并在这个 Gronwall 型不等式的帮助下推导出了解对分数阶柯西问题的阶数和初始条件的依赖性。最后，给出了一些例子来说明我们的结果。与最近的论文 [2] 和其他以前的工作相比，本文的新颖之处在于处理运算符的多变量情况（f : ℝm → ℝ，​​m 是正整数）。并借助 Gronwall 型不等式推导出解对分数阶柯西问题的阶数和初始条件的依赖性。最后，给出了一些例子来说明我们的结果。与最近的论文 [2] 和其他以前的工作相比，本文的新颖之处在于处理运算符的多变量情况（f : ℝm → ℝ，​​m 是正整数）。并借助 Gronwall 型不等式推导出解对分数阶柯西问题的阶数和初始条件的依赖性。最后，给出了一些例子来说明我们的结果。与最近的论文 [2] 和其他以前的工作相比，本文的新颖之处在于处理运算符的多变量情况（f : ℝm → ℝ，​​m 是正整数）。