Let $\mathfrak{g}$ be a hyperbolic Kac-Moody algebra of rank 2, and set $\lambda=\Lambda_{1} - \Lambda_{2}$, where $\Lambda_{1}$, $\Lambda_{2}$ are the fundamental weights. Denote by $V(\lambda)$ the extremal weight module of extremal weight $\lambda$ with $v_\lambda$ the extremal weight vector, and by $\mathcal{B}(\lambda)$ the crystal basis of $V(\lambda)$ with $u_\lambda$ the element corresponding to $v_\lambda$. We prove that (i) $\mathcal{B}(\lambda)$ is connected, (ii) the subset $\mathcal{B}(\lambda)_{\mu}$ of elements of weight $\mu$ in $\mathcal{B}(\lambda)$ is a finite set for every integral weight $\mu$, and $\mathcal{B}(\lambda)_{\lambda} = \{u_\lambda\}$, (iii) every extremal element in $\mathcal{B}(\lambda)$ is contained in the Weyl group orbit of $u_\lambda$, (iv) $V(\lambda)$ is irreducible. Finally, we prove that the crystal basis $\mathcal{B}(\lambda)$ is isomorphic, as a crystal, to the crystal $\mathbb{B}(\lambda)$ of Lakshmibai-Seshadri paths of shape $\lambda$.

中文翻译：

---

秩为 2 的量化双曲 Kac-Moody 代数上的极值权模块的路径模型

令 $\mathfrak{g}$ 为 2 阶双曲 Kac-Moody 代数，并设 $\lambda=\Lambda_{1} - \Lambda_{2}$，其中 $\Lambda_{1}$, $\Lambda_ {2}$ 是基本权重。用 $V(\lambda)$ 表示极权值 $\lambda$ 的极值模，其中 $v_\lambda$ 是极值权向量，并用 $\mathcal{B}(\lambda)$ 表示 $V 的晶基(\lambda)$ 与 $u_\lambda$ 对应于 $v_\lambda$ 的元素。我们证明 (i) $\mathcal{B}(\lambda)$ 是连通的， (ii) 中权重 $\mu$ 的元素的子集 $\mathcal{B}(\lambda)_{\mu}$ $\mathcal{B}(\lambda)$ 是每个积分权重 $\mu$ 的有限集，并且 $\mathcal{B}(\lambda)_{\lambda} = \{u_\lambda\}$， (iii) $\mathcal{B}(\lambda)$ 中的每个极值元素都包含在 $u_\lambda$ 的外尔群轨道中， (iv) $V(\lambda)$ 是不可约的。最后，