Given two subsets $\mathcal{A},\mathcal{B}$ of the d dimensional vector space over the finite field ${\mathbb{F}}_q$ of q elements, we show that the sumset$\mathcal{A}+\mathcal{B}=\{\mathbf{a}+\mathbf{b}|\mathbf{a}\in \mathcal{A},\mathbf{b}\in \mathcal{B}\}$ contains k distinct vectors of the form $(v_1{\lambda }_1^j,\dots ,v_d{\lambda }_d^j)$, where $j=0,\dots ,k-1$, with nonzero vectors $(v_1,\dots ,v_d),({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_d)\in {\mathbb{F}}_q^d$, whenever$\mathrm{\#}\mathcal{A}\mathrm{\#}\mathcal{B}⩾c{q}^{2d(1-1/k)},$ for some constant $c>0$ which depends only on k. This improves the previous result of O. Ahamadi and I.E. Shparlinski (2007), which has the exponent $2d-2/k$.

中文翻译：

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向量求和集在有限域上的几何级数

给定两个子集 $\mathcal{一种}，\mathcal{乙}$所述的d有限域维向量空间${\mathbb{F}}_q$的q个元素，我们表明$\mathcal{一种}+\mathcal{乙}=\{\mathbf{一种}+\mathbf{b}|\mathbf{一种}\in \mathcal{一种}，\mathbf{b}\in \mathcal{乙}\}$包含以下形式的k个不同向量$（v_{\mathrm{1个}}{\lambda }_{\mathrm{1个}}^{Ĵ}，\dots ，v_d{\lambda }_d^{Ĵ}）$，在哪里 $Ĵ=0，\dots ，ķ-\mathrm{1个}$，具有非零向量 $（v_{\mathrm{1个}}，\dots ，v_d），（{\lambda }_{\mathrm{1个}}，\dots ，{\lambda }_d）\in {\mathbb{F}}_q^d$无论何时$\mathrm{＃}\mathcal{一种}\mathrm{＃}\mathcal{乙}⩾C{q}^{2d（\mathrm{1个}-\mathrm{1个}/ķ）}，$ 对于一些常数 $C>0$仅取决于k。这改善了O. Ahamadi和IE Shparlinski（2007）的先前结果，该结果具有指数$2d-2/ķ$。