Abstract The paradigm of algebraic constraint-based reasoning, embodied in the notion of a qualitative calculus, is studied within two alternative frameworks. One framework defines a qualitative calculus as “a non-associative relation algebra (NA) with a qualitative representation”, the other as “an algebra generated by jointly exhaustive and pairwise disjoint (JEPD) relations”. These frameworks provide complementary perspectives: the first is intensional (axiom-based), whereas the second one is extensional (based on semantic structures). However, each definition admits calculi that lie beyond the scope of the other. Thus, a qualitatively representable NA may be incomplete or non-atomic, whereas an algebra generated by JEPD relations may have non-involutive converse and no identity element. The divergence of definitions creates a confusion around the notion of a qualitative calculus and makes the “what” question posed by Ligozat and Renz actual once again. Here we define the relation-type qualitative calculus unifying the intensional and extensional approaches. By introducing the notions of weak identity, inference completeness and Q-homomorphism, we give equivalent definitions of qualitative calculi both intensionally and extensionally. We show that “algebras generated by JEPD relations” and “qualitatively representable NAs” are embedded into the class of relation-type qualitative algebras.

中文翻译：

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那么，究竟什么是定性演算呢？

摘要 代数约束推理的范式体现在定性微积分的概念中，在两个替代框架内进行了研究。一个框架将定性微积分定义为“具有定性表示的非关联关系代数（NA）”，另一个框架定义为“由联合穷举和成对不相交（JEPD）关系生成的代数”。这些框架提供了互补的观点：第一个是内涵的（基于公理），而第二个是外延的（基于语义结构）。然而，每个定义都承认超出另一个定义范围的微积分。因此，一个可定性表示的 NA 可能是不完整的或非原子的，而由 JEPD 关系生成的代数可能具有非对合逆和没有单位元素。定义的分歧造成了对定性微积分概念的混淆，并使 Ligozat 和 Renz 提出的“什么”问题再次成为现实。在这里，我们定义了统一内涵和外延方法的关系型定性演算。通过引入弱恒等式、推理完备性和 Q 同态的概念，我们在内涵和外延上给出了定性演算的等价定义。我们展示了“由 JEPD 关系生成的代数”和“可定性表示的 NA”被嵌入到关系类型的定性代数类中。通过引入弱恒等式、推理完备性和 Q 同态的概念，我们在内涵和外延上给出了定性演算的等价定义。我们展示了“由 JEPD 关系生成的代数”和“可定性表示的 NA”被嵌入到关系类型的定性代数类中。通过引入弱恒等式、推理完备性和 Q 同态的概念，我们在内涵和外延上给出了定性演算的等价定义。我们展示了“由 JEPD 关系生成的代数”和“可定性表示的 NA”被嵌入到关系类型的定性代数类中。