Let $A$ be a $W^{1,2}$-connection on a principle $\text{SU}(2)$-bundle $P$ over a compact $4$-manifold $M$ whose curvature $F_A$ satisfies $\|F_A\|_{L^2(M)}\le \Lambda$. Our main result is the existence of a global section $\sigma: M\to P$ with finite singularities on $M$ such that the connection form $\sigma^*A$ satisfies the Coulomb equation $d^*(\sigma^*A)=0$ and admits a sharp estimate $\|\sigma^*A\|_{\mathcal{L}^{4,\infty}(M)}\le C(M,\Lambda)$. Here $\mathcal{L}^{4,\infty}$ is a new function space we introduce in this paper that satisfies $L^4(M)\subsetneq \mathcal{L}^{4,\infty}(M)\subsetneq L^{4-\epsilon}(M)$ for all $\epsilon>0$.

中文翻译：

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全球库仑计的精确估计

令 $A$ 是一个 $W^{1,2}$-connection，原则上 $\text{SU}(2)$-bundle $P$ 在紧凑的 $4$-流形 $M$ 上，其曲率 $F_A$满足 $\|F_A\|_{L^2(M)}\le \Lambda$。我们的主要结果是存在全局部分 $\sigma: M\to P$，在 $M$ 上具有有限奇点，使得连接形式 $\sigma^*A$ 满足库仑方程 $d^*(\sigma^ *A)=0$ 并承认一个尖锐的估计 $\|\sigma^*A\|_{\mathcal{L}^{4,\infty}(M)}\le C(M,\Lambda)$。这里 $\mathcal{L}^{4,\infty}$ 是我们在本文中引入的一个新的函数空间，它满足 $L^4(M)\subsetneq \mathcal{L}^{4,\infty}(M )\subsetneq L^{4-\epsilon}(M)$ 对于所有 $\epsilon>0$。