Let F be a field, $\mathrm{char}F\ne 2$. Assume that $a_1,\dots a_n\in F^{⁎}$ are such that ${\bar{a}}_1,\dots {\bar{a}}_n\in F^{⁎}/{F^{⁎}}^2$ are linearly independent over $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. As usual $W(F)$ stands for the Witt ring of F. For an element $\phi \in W(F)$ denote by dim φ the dimension of the corresponding anisotropic quadratic form. Define $\hat{u}(F;a_1,\dots ,a_n)$ as the maximum of dim φ, where φ runs over the set of elements in $W(F)$, which become zero in $W(F(\sqrt{a_1},\dots ,\sqrt{a_n}))$. This is a version of the classical notion of the u-invariant $u(F)$ of the field F. It turns out that $\hat{u}(F;a_1,\dots ,a_n)\le {\alpha }_n\sum _{i=1}^n\hat{u}(F;a_i)$ for any $n\ge 2$, where the sequence ${\alpha }_n$ is defined recurrently as ${\alpha }_2=1$, and ${\alpha }_n=\frac{\frac{5}{2}(n-1){\alpha }_{n-1}+1}{n}$.

We compute $\hat{u}(F;a)$ in certain cases, and show that $\hat{u}(F(\sqrt{b});a)\le \frac{5}{2}\hat{u}(F;a)$, where $b\in F^{⁎}$. However, in general there is no lower bound for $\hat{u}(F(\sqrt{b});a)$ via $\hat{u}(F;a)$, even though we prove that $\max \{\hat{u}(F(\sqrt{b});a),\hat{u}(F(\sqrt{ab});a)\}\ge \frac{1}{3}\hat{u}(F;a)$.

Let $\hat{u}(F)$ be the maximum of $\hat{u}(F;a)$, where a runs over all elements of $F^{⁎}\setminus {F^{⁎}}^2$. We show that $\hat{u}(F(\sqrt{b}))\ge \frac{1}{4}\hat{u}(F)$ if b is a sum of two squares. In particular, the last inequality holds if $\sqrt{-1}\in F^{⁎}$.

设F为一个场，$\mathrm{烧焦}F\ne 2$。假使，假设${\mathrm{一种}}_{\mathrm{1个}}，\dots {\mathrm{一种}}_{ñ}\in F^{⁎}$ 如此 ${\stackrel{〜}{\mathrm{一种}}}_{\mathrm{1个}}，\dots {\stackrel{〜}{\mathrm{一种}}}_{ñ}\in F^{⁎}/{F^{⁎}}^2$ 线性独立于 $\mathbb{ž}/2\mathbb{ž}$。照常$\mathrm{w\; ^}（F）$代表F的Witt环。对于元素$\phi \in \mathrm{w\; ^}（F）$在昏暗的表示 φ相应的各向异性二次型的尺寸。定义$\widehat{ü}（F;{\mathrm{一种}}_{\mathrm{1个}}，\dots ，{\mathrm{一种}}_{ñ}）$作为最大暗淡 φ，其中φ运行在集合中的元素的$\mathrm{w\; ^}（F）$，在其中变为零 $\mathrm{w\; ^}（F（\sqrt{{\mathrm{一种}}_{\mathrm{1个}}}，\dots ，\sqrt{{\mathrm{一种}}_{ñ}}））$。这是u不变量的经典概念的一个版本$ü（F）$F的场。事实证明$\widehat{ü}（F;{\mathrm{一种}}_{\mathrm{1个}}，\dots ，{\mathrm{一种}}_{ñ}）\le {\alpha }_{ñ}\sum _{\mathrm{一世}=\mathrm{1个}}^{ñ}\widehat{ü}（F;{\mathrm{一种}}_{\mathrm{一世}}）$ 对于任何 $ñ\ge 2$，其中顺序 ${\alpha }_{ñ}$ 经常被定义为 ${\alpha }_2=\mathrm{1个}$和 ${\alpha }_{ñ}=\frac{\frac{5}{2}（ñ-\mathrm{1个}）{\alpha }_{ñ-\mathrm{1个}}+\mathrm{1个}}{ñ}$。

我们计算 $\widehat{ü}（F;\mathrm{一种}）$ 在某些情况下，并表明 $\widehat{ü}（F（\sqrt{b}）;\mathrm{一种}）\le \frac{5}{2}\widehat{ü}（F;\mathrm{一种}）$，在哪里 $b\in F^{⁎}$。但是，通常没有下限$\widehat{ü}（F（\sqrt{b}）;\mathrm{一种}）$ 通过 $\widehat{ü}（F;\mathrm{一种}）$，即使我们证明 $\mathrm{最高}\{\widehat{ü}（F（\sqrt{b}）;\mathrm{一种}），\widehat{ü}（F（\sqrt{\mathrm{一种}b}）;\mathrm{一种}）\}\ge \frac{\mathrm{1个}}{3}\widehat{ü}（F;\mathrm{一种}）$。

让 $\widehat{ü}（F）$ 是最大的 $\widehat{ü}（F;\mathrm{一种}）$，其中a遍历了所有元素$F^{⁎}\setminus {F^{⁎}}^2$。我们证明$\widehat{ü}（F（\sqrt{b}））\ge \frac{\mathrm{1个}}{4}\widehat{ü}（F）$如果b是两个平方的和。特别是，如果$\sqrt{-\mathrm{1个}}\in F^{⁎}$。