We provide a new approach for the efficient matrix-free application of the transpose of the Jacobian for the spectral element method for the adjoint-based solution of partial differential equation (PDE) constrained optimization. This results in optimizations of nonlinear PDEs using explicit integrators where the integration of the adjoint problem is not more expensive than the forward simulation. Solving PDE constrained optimization problems entails combining expertise from multiple areas, including simulation, computation of derivatives, and optimization. The Portable, Extensible Toolkit for Scientific computation (PETSc) together with its companion package, the Toolkit for Advanced Optimization (TAO), is an integrated numerical software library that contains an algorithmic/software stack for solving linear systems, nonlinear systems, ordinary differential equations, differential algebraic equations, and large-scale optimization problems and, as such, is an ideal tool for performing PDE-constrained optimization. This paper describes an efficient approach in which the software stack provided by PETSc/TAO can be used for large-scale nonlinear time-dependent problems. Time integration can involve a range of high-order methods, both implicit and explicit. The PDE-constrained optimization algorithm used is gradient-based and seamlessly integrated with the simulation of the physical problem.

我们提供了一种新的方法，可有效地将Jacobian移调用于矩阵元素的偏微分方程（PDE）约束最优化解的频谱元素方法。这导致使用显式积分器对非线性PDE进行优化，其中伴随问题的积分并不比正演模拟昂贵。要解决PDE约束的优化问题，就需要结合多个领域的专业知识，包括仿真，导数计算和优化。便携式，可扩展的科学计算工具包（PETSc）及其配套的高级优化工具包（TAO）是一个集成的数字软件库，其中包含用于求解线性系统，非线性系统，常微分方程，微分代数方程和大规模优化问题，因此，它是执行PDE约束优化的理想工具。本文介绍了一种有效的方法，其中PETSc / TAO提供的软件堆栈可用于解决大规模的非线性时间相关问题。时间积分可能涉及一系列高阶方法，包括隐式和显式。所使用的PDE约束优化算法基于梯度，并且与物理问题的仿真无缝集成。本文介绍了一种有效的方法，其中PETSc / TAO提供的软件堆栈可用于解决大规模的非线性时间相关问题。时间积分可能涉及一系列高阶方法，包括隐式和显式。所使用的PDE约束优化算法基于梯度，并且与物理问题的仿真无缝集成。本文介绍了一种有效的方法，其中PETSc / TAO提供的软件堆栈可用于解决大规模的非线性时间相关问题。时间积分可能涉及一系列高阶方法，包括隐式和显式。使用的PDE约束优化算法基于梯度，并且与物理问题的仿真无缝集成。