In this work, we consider the Kepler problem with a family of singular dissipations of the form $$-\frac{k}{|x|^\beta }\dot{x},\quad k>0, \beta >0.$$ - k | x | β x ˙ , k > 0 , β > 0 . We present some results about the qualitative dynamics as $$\beta $$ β increases from zero (linear drag) to infinity. In particular, we detect some threshold values of $$\beta $$ β , for which qualitative changes in the global dynamics occur. In the case $$\beta =2$$ β = 2 , we refine some results obtained by Diacu and prove that, unlike for the case of the linear drag, the asymptotic Runge–Lenz vector is discontinuous.

中文翻译：

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具有奇异阻力族的耗散开普勒问题

在这项工作中，我们考虑了具有 $$-\frac{k}{|x|^\beta }\dot{x},\quad k>0, \beta >0 形式的奇异耗散族的开普勒问题.$$ - k | × | β x ˙ , k > 0 , β > 0 。我们展示了一些关于定性动力学的结果，因为 $$\beta $$ β 从零（线性阻力）增加到无穷大。特别是，我们检测了 $$\beta $$ β 的一些阈值，为此全局动态发生了质的变化。在 $$\beta =2$$ β = 2 的情况下，我们改进了 Diacu 获得的一些结果并证明，与线性阻力的情况不同，渐近 Runge-Lenz 向量是不连续的。