Let $A$ be a nonempty finite set of $k$ integers. Given a subset $B$ of $A$, the sum of all elements of $B$, denoted by $s(B)$, is called the subset sum of $B$. For a nonnegative integer $\alpha$ ($\leq k$), let \[\Sigma_{\alpha} (A):=\{s(B): B \subset A, |B|\geq \alpha\}.\] Now, let $\mathcal{A}=(\underbrace{a_{1},\ldots,a_{1}}_{r_{1}~\text{copies}}, \underbrace{a_{2},\ldots,a_{2}}_{r_{2}~\text{copies}},\ldots, \underbrace{a_{k},\ldots,a_{k}}_{r_{k}~\text{copies}})$ be a finite sequence of integers with $k$ distinct terms, where $r_{i}\geq 1$ for $i=1,2,\ldots,k$. Given a subsequence $\mathcal{B}$ of $\mathcal{A}$, the sum of all terms of $\mathcal{B}$, denoted by $s(\mathcal{B})$, is called the subsequence sum of $\mathcal{B}$. For $0\leq \alpha \leq \sum_{i=1}^{k} r_{i}$, let \[\Sigma_{\alpha} (\bar{r},\mathcal{A}):=\left\{s(\mathcal{B}): \mathcal{B}~\text{is a subsequence of}~\mathcal{A}~\text{of length} \geq \alpha \right\},\] where $\bar{r}=(r_{1},r_{2},\ldots,r_{k})$. Very recently, Balandraud obtained the minimum cardinality of $\Sigma_{\alpha} (A)$ in finite fields. Motivated by Baladraud's work, we find the minimum cardinality of $\Sigma_{\alpha}(A)$ in the group of integers. We also determine the structure of the finite set $A$ of integers for which $|\Sigma_{\alpha} (A)|$ is minimal. Furthermore, we generalize these results of subset sums to the subsequence sums $\Sigma_{\alpha} (\bar{r},\mathcal{A})$. As special cases of our results we obtain some already known results for the usual subset and subsequence sums.

中文翻译：

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整数中某些子序列和的逆问题

令 $A$ 是 $k$ 个整数的非空有限集。给定$A$的子集$B$，$B$的所有元素之和，用$s(B)$表示，称为$B$的子集和。对于非负整数 $\alpha$ ($\leq k$)，令 \[\Sigma_{\alpha} (A):=\{s(B): B \subset A, |B|\geq \alpha\ }.\] 现在，让 $\mathcal{A}=(\underbrace{a_{1},\ldots,a_{1}}_{r_{1}~\text{copies}}, \underbrace{a_{ 2},\ldots,a_{2}}_{r_{2}~\text{copies}},\ldots, \underbrace{a_{k},\ldots,a_{k}}_{r_{k} ~\text{copies}})$ 是具有 $k$ 不同项的有限整数序列，其中 $r_{i}\geq 1$ for $i=1,2,\ldots,k$。给定 $\mathcal{A}$ 的子序列 $\mathcal{B}$，$\mathcal{B}$ 的所有项的总和，用 $s(\mathcal{B})$ 表示，称为子序列$\mathcal{B}$ 的总和。对于 $0\leq \alpha \leq \sum_{i=1}^{k} r_{i}$，令 \[\Sigma_{\alpha} (\bar{r},\mathcal{A}):=\左\{s(\mathcal{B}): \mathcal{B}~\text{是}~\mathcal{A}~\text{of length} \geq \alpha \right\},\] 其中 $\bar{r}=(r_{1 },r_{2},\ldots,r_{k})$。最近，Balandraud 在有限域中获得了 $\Sigma_{\alpha} (A)$ 的最小基数。受 Baladraud 工作的启发，我们找到了整数群中 $\Sigma_{\alpha}(A)$ 的最小基数。我们还确定了整数的有限集 $A$ 的结构，其中 $|\Sigma_{\alpha} (A)|$ 是最小的。此外，我们将子序列总和的这些结果推广到子序列总和 $\Sigma_{\alpha} (\bar{r},\mathcal{A})$。作为我们结果的特殊情况，我们为通常的子集和子序列总和获得了一些已知的结果。Balandraud 在有限域中得到了 $\Sigma_{\alpha} (A)$ 的最小基数。受到 Baladraud 工作的启发，我们找到了整数群中 $\Sigma_{\alpha}(A)$ 的最小基数。我们还确定了整数的有限集 $A$ 的结构，其中 $|\Sigma_{\alpha} (A)|$ 是最小的。此外，我们将子序列总和的这些结果推广到子序列总和 $\Sigma_{\alpha} (\bar{r},\mathcal{A})$。作为我们结果的特殊情况，我们为通常的子集和子序列总和获得了一些已知的结果。Balandraud 在有限域中得到了 $\Sigma_{\alpha} (A)$ 的最小基数。受到 Baladraud 工作的启发，我们找到了整数群中 $\Sigma_{\alpha}(A)$ 的最小基数。我们还确定了整数的有限集 $A$ 的结构，其中 $|\Sigma_{\alpha} (A)|$ 是最小的。此外，我们将子序列总和的这些结果推广到子序列总和 $\Sigma_{\alpha} (\bar{r},\mathcal{A})$。作为我们结果的特殊情况，我们为通常的子集和子序列总和获得了一些已知的结果。此外，我们将子序列总和的这些结果推广到子序列总和 $\Sigma_{\alpha} (\bar{r},\mathcal{A})$。作为我们结果的特殊情况，我们为通常的子集和子序列总和获得了一些已知的结果。此外，我们将子序列总和的这些结果推广到子序列总和 $\Sigma_{\alpha} (\bar{r},\mathcal{A})$。作为我们结果的特殊情况，我们为通常的子集和子序列总和获得了一些已知的结果。