We study finite Morse index solutions to the non-local Gelfand-Liouville problem $$ (-\Delta)^su=e^u\quad\mathrm{in}\quad \mathbb{R}^n,$$ for every $s\in(0,1)$ and $n>2s$. Precisely, we prove non-existence of finite Morse index solutions whenever the singular solution $$u_{n,s}(x)=-2s\log|x|+\log \left(2^{2s}\frac{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(1+s)}{\Gamma(\frac{n-2s}{2})}\right)$$ is unstable.

中文翻译：

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非局部 Gelfand-Liouville 方程稳定解的分类

我们研究非局部 Gelfand-Liouville 问题的有限莫尔斯指数解决方案 $$ (-\Delta)^su=e^u\quad\mathrm{in}\quad \mathbb{R}^n,$$ 对于每个 $ s\in(0,1)$ 和 $n>2s$。准确地说，只要奇异解 $$u_{n,s}(x)=-2s\log|x|+\log \left(2^{2s}\frac{\ Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(1+s)}{\Gamma(\frac{n-2s}{2})}\right)$$ 是不稳定的。