We consider compatible group structures on a $V$-category, where $V$ is a quantale, and we study the topological and algebraic properties of such groups. Examples of such structures are preordered groups, metric and ultrametric groups, probabilistic (ultra)metric groups. In particular, we show that, when $V$ is a frame, symmetric $V$-groups satisfy very strong categorical-algebraic properties, typical of the category of groups. In particular, symmetric $V$-groups form a protomodular category.

中文翻译：

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关于 V 群的分类行为

我们考虑在 $V$-category 上的兼容群结构，其中 $V$ 是一个量子数，我们研究了这些群的拓扑和代数性质。此类结构的示例是预排序组、度量和超度量组、概率（超）度量组。特别是，我们表明，当 $V$ 是一个框架时，对称的 $V$-群满足非常强的分类代数特性，这是群类别的典型特征。特别是，对称的$V$-groups 形成了一个protomodular 范畴。