The bivariate Eulerian polynomials are defined by $A_n(p,q)=\sum _{\pi \in {\mathfrak{S}}_n}{p}^{\mathrm{odes}\left(\pi \right)}{q}^{\mathrm{edes}\left(\pi \right)},$where $\mathrm{odes}\left(\pi \right)$ and $\mathrm{edes}\left(\pi \right)$ are the number of descents of permutation $\pi$ in odd and even positions, respectively. In this paper, by the Hetyei–Reiner action, we show that for $k\ge 1$, the bivariate Eulerian polynomials $A_{2k+1}(p,q)$ and ${(1+p)}^{-1}{A}_{2k}(p,q)$ are $\gamma$-positive, namely, they can be expressed in terms of the basis ${\mathcal{B}}_n≔\left\{{\left(pq\right)}^i{(p+q)}^j{(1+pq)}^{n-2i-j}\right|i,j\ge 0,2i+j\le n\}$with nonnegative coefficients.

中文翻译：

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的 $\gamma$Hetyei-Reiner作用的二元欧拉多项式的正定性

二元欧拉多项式定义为 ${\mathrm{一种}}_{ñ}（p，q）=\sum _{\pi \in {\mathfrak{小号}}_{ñ}}{p}^{\mathrm{颂歌}（\pi ）}{q}^{\mathrm{伊迪斯}（\pi ）}，$哪里 $\mathrm{颂歌}（\pi ）$ 和 $\mathrm{伊迪斯}（\pi ）$ 是排列的下降次数 $\pi$分别处于奇数和偶数位置。在本文中，通过Hetyei–Reiner动作，我们证明了$ķ\ge \mathrm{1个}$，二元欧拉多项式 ${\mathrm{一种}}_{2ķ+\mathrm{1个}}（p，q）$ 和 ${（\mathrm{1个}+p）}^{-\mathrm{1个}}{\mathrm{一种}}_{2ķ}（p，q）$ 是 $\gamma$-积极的，即可以用基础来表示 ${\mathcal{乙}}_{ñ}≔\left\{{（pq）}^{\mathrm{一世}}{（p+q）}^{Ĵ}{（\mathrm{1个}+pq）}^{ñ-2\mathrm{一世}-Ĵ}\right|\mathrm{一世}，Ĵ\ge 0，2\mathrm{一世}+Ĵ\le ñ\}$具有非负系数。