We explicitly construct Brill--Noether general $K3$ surfaces of genus $4,6$ and $8$ having the maximal number of elliptic pencils of degrees $3, 4$ and $5$, respectively, and study their moduli spaces and moduli maps to the moduli space of curves. As an application we prove the existence of Brill--Noether general $K3$ surfaces of genus $4$ and $6$ without stable Lazarsfeld--Mukai bundles of minimal $c_2$.

中文翻译：

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Brill-Noether 一般 K3 曲面具有最大数量的最小度椭圆铅笔

我们明确地构造了 Brill--Noether 类 $4,6$ 和 $8$ 的一般 $K3$ 曲面，分别具有度数 $3、4$ 和 $5$ 的最大椭圆铅笔数，并研究它们的模空间和模映射到曲线的模空间。作为一个应用，我们证明了 Brill 的存在——没有稳定的 Lazarsfeld 属 $4$ 和 $6$ 的 Noether 一般 $K3$ 曲面——最小 $c_2$ 的 Mukai 丛。